Questão 2: (1,0 ponto) Determine um polinômio p(x) ∈ R[x] que tenha 1 − 2i como uma de suas ráızes. O polinômio p(x) tem outra raiz que é 1 + 2...

Para determinar se o polinômio p(x) = x² - 2x + 5 tem 1 - 2i como uma de suas raízes, podemos substituir x por 1 - 2i e verificar se a equação é satisfeita: p(1 - 2i) = (1 - 2i)² - 2(1 - 2i) + 5 p(1 - 2i) = 1 - 4i + 4i² - 2 + 4i + 5 p(1 - 2i) = 4 - 4i Como 1 - 2i é uma das raízes do polinômio, então (x - (1 - 2i)) é um dos fatores do polinômio. Podemos encontrar o outro fator dividindo p(x) por (x - (1 - 2i)): (x - (1 - 2i))(ax + b) = x² - 2x + 5 ax² + (b - a)x - (a + b - 1 + 2i) = 0 Como 1 + 2i é outra raiz do polinômio, então (x - (1 + 2i)) é o outro fator do polinômio. Podemos encontrar os valores de a e b resolvendo o sistema de equações: (x - (1 - 2i))(x - (1 + 2i)) = (x - 1 + 2i)(x - 1 - 2i) = x² - 2x + 5 (x - 1 + 2i)(x - 1 - 2i) = ax² + (b - a)x - (a + b - 1 + 2i) x² - 2x + 5 = ax² + (b - a)x - (a + b - 1 + 2i) Igualando os coeficientes de x², x e o termo independente, temos: a = 1 b - a = -2 a + b - 1 + 2i = -5 Substituindo a primeira equação na segunda, temos: b - 1 = -2 b = -1 Substituindo a terceira equação em b, temos: 1 - 2i = -5 - 2i 6 = 0 Como a última equação não é verdadeira, não existe um polinômio p(x) ∈ R[x] que tenha 1 - 2i e 1 + 2i como raízes e seja de grau 2. Portanto, a alternativa correta é letra E) Não existe tal polinômio.