AP2 - Polinômios e Números Complexos 2023.1 - gabarito

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Álgebra II / Polinômios e Números Complexos
AP2 - Gabarito
Questão 1: (1,0 ponto) Seja p um polinômio em R[x] tal que o resto de sua divisão por
x2 − 1 é igual a x+ 1. Determine p(1) e p(−1).
Solução: Pelo Algoritmo da Divisão, existe q ∈ R[x] tal que
p (x) =
(
x2 − 1
)
· q (x) + x+ 1, para todo x ∈ R.
Em particular, temos
p(1) =
(
12 − 1
)
· q(1) + 1 + 1 = 2
e
p(−1) =
(
(−1)2 − 1
)
· q(−1) + 1− 1 = 0.
Questão 2: (1,0 ponto) Determine um polinômio p(x) ∈ R[x] que tenha 1 − 2i como uma
de suas ráızes.
Solução: Sabemos que 1 + 2i é outra raiz de p(x). Dessa forma, procurando um polinômio
de grau 2, segue que
p(x) = (x− (1− 2i)) (x− (1 + 2i)) = x2 − 2x+ 5.
Questão 3: (1,0 ponto) Determine a ∈ Z3 para o qual o polinômio p(x) = x1000 + ax+ 1 é
diviśıvel por x+ 2 em Z3[x].
Solução: Pelo Algoritmo da Divisão, existem q(x) ∈ Z3[x] e r(x) = r ∈ Z3 tais que
p(x) =
(
x+ 2
)
· q(x) + r.
Logo,
p(x)é diviśıvel por x+ 2 ⇐⇒ p(1) = 0 ⇐⇒
(
1
)1000
+ a ·
(
1
)
+ 1 = 0 ⇐⇒ a = −2 = 1.
1
Questão 4: (2,0 pontos) Encontre um MDC entre p(x) = x4 − 1 e g(x) = x3 + x2 − x− 1 ∈
R[x].
Solução:
x− 1 1
2
x+
1
2
x4 − 1 x3 + x2 − x− 1 2x2 − 2
2x2 − 2 0
Resposta: 2x2 − 2 ou x2 − 1 ou ...
Questão 5: (1,0 ponto) Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F) para a afirmação abaixo.
Demonstre se julgá-la verdadeira e apresente um contra-exemplo se julgá-la falsa.
”O conjunto dos números transcendentes é um anel.”
Solução: Falsa
O conjunto não é fechado para a subtração. Por exemplo, π é transcendente e π− π = 0
é algébrico.
Questão 6: (1,0 ponto) Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F) para a afirmação abaixo.
Demonstre se julgá-la verdadeira e apresente um contra-exemplo se julgá-la falsa.
”Todo polinômio com coeficientes reais e grau ı́mpar possui pelo menos uma raiz real.”
Solução: Verdadeiro
Sabemos que se r é raiz complexa de um polinômio, então o conjugado r também será.
Logo, o número de ráızes não reais de um polinômio tem que ser par.
Por outro lado, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, todo polinômio de grau n, com
coeficientes reais, possui exatamente n ráızes complexas. Dessa forma, se n for ı́mpar, pelo
menos uma raiz terá que ser real.
Questão 7: (1,0 ponto) Verifique se o polinômio p(x) = 5x4 + 15x2 − 45x + 15 é redut́ıvel
em Q [x].
Solução: Aplicando Critério de Eisenstein com o primo p = 3, obtemos:
2
� 3 | 15, 3 | −45, 3 | 15 e 3 | 0
� 3 ∤ 5
� 32 = 9 ∤ 15
e, portanto, p(x) é irredut́ıvel em Q [x].
Questão 8: (1,0 ponto) Verifique se o polinômio p(x) = 2x+ 2 é redut́ıvel em Q [x].
Solução: Como p(x) possui grau 1, é irredut́ıvel em Q [x].
Questão 9: (1,0 ponto) Verifique se o polinômio p(x) = x3 − 2 é redut́ıvel em Z5 [x].
Solução: Note que 3 ∈ Z5 é raiz de p(x):
p
(
3
)
= 3
3 − 2 = 27− 2 = 25 = 0.
Logo, p(x) é redut́ıvel em Z5 [x].
3