Problema 8. Considere la superficie S = S1 ∪ S2 donde S1 : x2 + y2 + 2(x− 2y) + 4 ≤ 0, z = x+ 2. S2 : x2 + y2 + 2(x− 2y) + 4 = 0, x+ 2 ≤ z ≤ 4 + 2x...

Para calcular o fluxo de F⃗ (x, y, z) = (z, y, x) através da superfície S, é necessário aplicar o Teorema de Gauss. Primeiro, é preciso calcular o divergente de F⃗: div(F⃗) = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z = 1 + 1 + 1 = 3 Em seguida, é necessário calcular o volume delimitado pela superfície S. Para isso, é possível utilizar a equação da superfície S1: x2 + y2 + 2(x− 2y) + 4 = 0 (x-1)² + (y-1)² = 2 Essa equação representa um círculo de raio √2 e centro em (1,1,3). A superfície S2 é um plano que corta esse círculo. A equação do plano é dada por: x+2 = z z = 4 + 2x Para encontrar o volume delimitado pela superfície S, é necessário integrar o divergente de F⃗ sobre esse volume: ∭div(F⃗) dV = ∭3 dV O volume pode ser calculado como a integral tripla da função 1 sobre o domínio delimitado pela superfície S: ∭1 dV = ∫0^2 ∫0^2π ∫0^(4+2r cosθ) r dz dθ dr Resolvendo essa integral, obtém-se o valor do volume V = 16π/3. Finalmente, aplicando o Teorema de Gauss, temos: ∬F⃗.n dS = ∭div(F⃗) dV ∬F⃗.n dS = 3V ∬F⃗.n dS = 16π Portanto, o fluxo de F⃗ através da superfície S em sentido da normal exterior a S é igual a 16π.