Let K be a compact subset of R and let f, g, and h be continuous functions from K to R. Prove that f(K), g(K), and h(K) are compact. f(K), g(K), a...

Para provar que f(K), g(K) e h(K) são compactos, precisamos mostrar que eles são fechados e limitados. Primeiro, vamos mostrar que f(K) é fechado e limitado. Como K é compacto e f é contínua, f(K) é limitado e fechado pela Propriedade de Imagem de Conjunto Compacto. Agora, vamos mostrar que g(K) é fechado e limitado. Como K é compacto e g é contínua, g(K) é limitado e fechado pela Propriedade de Imagem de Conjunto Compacto. Por fim, vamos mostrar que h(K) é fechado e limitado. Como K é compacto e h é contínua, h(K) é limitado e fechado pela Propriedade de Imagem de Conjunto Compacto. Portanto, f(K), g(K) e h(K) são compactos.