Considere os vetores ~u = (−3, 1, 0) e ~v = (3, 0,−2). Pede-se: (a) A área do paralelogramo determinado pelos vetores ~u e ~v. (b) Um vetor ~w de ...

(a) Para calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores ~u e ~v, podemos usar o produto vetorial. O módulo do produto vetorial entre ~u e ~v nos dá a área do paralelogramo. Portanto, temos: |~u x ~v| = |(-3, 1, 0) x (3, 0, -2)| Calculando o produto vetorial: ~u x ~v = (1*(-2) - 0*0, 0*3 - (-3)*(-2), (-3)*0 - 1*3) = (-2, 6, -3) Agora, calculamos o módulo do vetor resultante: |~u x ~v| = sqrt((-2)^2 + 6^2 + (-3)^2) = sqrt(4 + 36 + 9) = sqrt(49) = 7 Portanto, a área do paralelogramo determinado pelos vetores ~u e ~v é igual a 7. (b) Para encontrar um vetor ~w de norma 3 que seja ortogonal a ~u e ~v e forme um ângulo agudo com o vetor ~j, podemos usar o produto vetorial novamente. O vetor ~w será paralelo ao produto vetorial entre ~u e ~v. Portanto, temos: ~w = k * (~u x ~v) Para encontrar o valor de k, podemos usar a propriedade de que o módulo de ~w é igual à norma desejada, que é 3. Portanto, temos: |~w| = |k * (~u x ~v)| = |k| * |~u x ~v| = |k| * 7 Dado que |~w| = 3, temos: 3 = |k| * 7 Dividindo ambos os lados por 7, obtemos: |k| = 3/7 Como queremos um vetor ~w que forme um ângulo agudo com o vetor ~j, escolhemos o valor positivo de k. Portanto, temos: k = 3/7 Agora, podemos calcular o vetor ~w: ~w = (3/7) * (-2, 6, -3) = (6/7, -18/7, 9/7) Portanto, um vetor ~w de norma 3, ortogonal a ~u e ~v, e que forma um ângulo agudo com o vetor ~j é ~w = (6/7, -18/7, 9/7).