Dados as coordenadas dos vetores: u= (3, 1, 2), v= (0, 1, 4) e w= 2i+3j. Determine: a) A área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v. b) ...

a) Para calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores u e v, podemos utilizar o produto vetorial. O módulo do produto vetorial entre u e v é igual à área do paralelogramo formado por eles. Assim, temos: u x v = (1*4 - 2*1)i - (3*4 - 2*0)j + (3*1 - 1*0)k u x v = 2i - 12j + 3k |u x v| = sqrt(2^2 + (-12)^2 + 3^2) |u x v| = sqrt(148) |u x v| = 2sqrt(37) Portanto, a área do paralelogramo formado pelos vetores u e v é igual a 2sqrt(37). b) Para calcular o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u, v e w, podemos utilizar o produto misto. O módulo do produto misto entre u, v e w é igual ao volume do paralelepípedo formado por eles. Assim, temos: (u x v) . w = [(1*4 - 2*1)*2 + (3*4 - 2*0)*3 + (3*1 - 1*0)*0] (u x v) . w = 8 + 36 (u x v) . w = 44 Portanto, o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u, v e w é igual a 44.