Considere ~u e ~v dois vetores não colineares com | ~u | = 2, |~v | = 3. Sabendo-se que ~w = ~u × ~v e que | ~w | = 5, pede-se: (a) ~u · ~w = (b) ...

(a) Para encontrar o produto escalar entre os vetores ~u e ~w, podemos usar a propriedade de que o produto escalar entre dois vetores é igual ao produto do módulo de um vetor pelo módulo da projeção do outro vetor sobre ele. Assim, temos: ~u · ~w = |~u| |~w| cos θ Onde θ é o ângulo entre os vetores ~u e ~w. Como ~w = ~u × ~v, temos que ~w é perpendicular a ~u e ~v, e portanto θ = 90°. Além disso, |~u| = 2 e |~w| = 5. Substituindo na fórmula acima, temos: ~u · ~w = 2 * 5 * cos 90° = 0 Portanto, a alternativa correta é (a) 0. (b) Para encontrar o produto escalar entre os vetores ~w e (~u × ~v), podemos usar a propriedade de que o produto escalar entre dois vetores é igual ao produto do módulo de um vetor pelo módulo da projeção do outro vetor sobre ele. Assim, temos: ~w · (~u × ~v) = |~w| |~u × ~v| cos θ Onde θ é o ângulo entre os vetores ~w e (~u × ~v). Como ~w é perpendicular a ~u e ~v, e (~u × ~v) é perpendicular a ambos, temos que θ = 90°. Além disso, |~w| = 5 e |~u × ~v| = |~u| |~v| sen θ, onde θ é o ângulo entre ~u e ~v. Como ~u e ~v são não colineares, temos que sen θ ≠ 0. Substituindo na fórmula acima, temos: ~w · (~u × ~v) = 5 * 2 * 3 * sen θ * cos 90° = 0 Portanto, a alternativa correta é (b) 0. (c) Para encontrar o produto escalar entre os vetores (~u + ~v) e (~u - ~v), podemos distribuir o produto escalar e usar a propriedade de que o produto escalar entre um vetor e ele mesmo é igual ao quadrado do seu módulo. Assim, temos: (~u + ~v) · (~u - ~v) = ~u · ~u - ~u · ~v + ~v · ~u - ~v · ~v = |~u|² - ~u · ~v + ~v · ~u - |~v|² = 2² - ~u · ~v + ~v · ~u - 3² = -5 + ~u · ~v Portanto, a alternativa correta é (c) -5. (d) Para encontrar o produto vetorial entre os vetores (~u + ~v) e (~u - ~v), podemos usar a propriedade distributiva do produto vetorial. Assim, temos: (~u + ~v) × (~u - ~v) = ~u × ~u - ~u × ~v + ~v × ~u - ~v × ~v = 0 - ~u × ~v + ~u × ~v - 0 = 0 Portanto, a alternativa correta é (d) 0.