Calcule a derivada de [ ]∫=xe^(tx^2/3)ln²x dx. Encontre a função f(x) que satisfaz 2∫0)sen(x)f(x)dx = x² - 1.

Para calcular a derivada da integral, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo. Assim, temos: [ ]∫=xe^(tx^2/3)ln²x dx Derivando em relação a x, temos: d/dx [ ]∫=xe^(tx^2/3)ln²x dx = e^(tx^2/3)ln²x Para encontrar a função f(x), podemos usar a definição de integral definida. Assim, temos: 2∫0)sen(x)f(x)dx = x² - 1 Dividindo ambos os lados por 2, temos: ∫0)sen(x)f(x)dx = (x² - 1)/2 Derivando em relação a x, temos: d/dx [∫0)sen(x)f(x)dx] = d/dx [(x² - 1)/2] sen(x)f(x) = x Portanto, a função f(x) é: f(x) = x/sen(x)