Qual(ais) é(são) o(s) extremo(s) local(ais) da função f(x, y) = 3 −2xy+ −8yx² y²? A função f tem um mínimo local em (2,6). A função f não possui n...

Para encontrar os extremos locais da função f(x, y) = 3 −2xy −8yx² y², precisamos calcular as derivadas parciais e igualá-las a zero. Calculando as derivadas parciais, temos: fx = -2y - 16xy² = 0 fy = -2x - 16yx³ = 0 Resolvendo o sistema, encontramos os pontos críticos: y = 0 ou y² = 1/8 x = 0 ou x³ = 1/16 Assim, temos quatro pontos críticos: (0,0), (1/2,0), (0,1/2) e (1/2,1/2). Para determinar se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela, precisamos calcular a matriz Hessiana: H = [0 -2 -32xy] [-32yx 0 -16x-48yx²] Avaliando a Hessiana em cada ponto crítico, temos: (0,0): H = [0 -2 0; 0 0 0], que é um ponto de sela. (1/2,0): H = [0 -1 0; -8 0 0], que é um máximo local. (0,1/2): H = [0 0 -4; 0 0 -8], que é um máximo local. (1/2,1/2): H = [-8 -2 -8; -2 -8 -16], que é um mínimo local. Portanto, a alternativa correta é a letra c) a e c estão corretas, ou seja, a função f tem um mínimo local em (2,6) e não possui nem máximo, nem mínimo.