Demuestre que no existen los siguientes límites: a) lim f(x,y) = 2xy / (x^2 + y^2) quando (x,y) -> (0,0) b) lim f(x,y) = (x^2 - y^2) / (x^2 + y^2) ...

a) Para demonstrar que o limite não existe, podemos encontrar duas trajetórias diferentes que levam a resultados diferentes. Considere a trajetória y = mx, onde m é uma constante. Substituindo y por mx na expressão de f(x,y), temos: lim f(x,mx) = 2x(mx) / (x^2 + (mx)^2) = 2mx^2 / (1 + m^2)x^2 Simplificando, temos: lim f(x,mx) = 2m / (1 + m^2) Agora, considere a trajetória x = 0. Substituindo x por 0 na expressão de f(x,y), temos: lim f(0,y) = 0 Como os limites ao longo dessas duas trajetórias são diferentes, concluímos que o limite não existe. b) Novamente, podemos encontrar duas trajetórias diferentes que levam a resultados diferentes. Considere a trajetória y = mx, onde m é uma constante. Substituindo y por mx na expressão de f(x,y), temos: lim f(x,mx) = (x^2 - m^2x^2) / (x^2 + m^2x^2) = (1 - m^2) / (1 + m^2) Agora, considere a trajetória x = y. Substituindo y por x na expressão de f(x,y), temos: lim f(x,x) = 0 Como os limites ao longo dessas duas trajetórias são diferentes, concluímos que o limite não existe. c) Podemos usar o critério do sanduíche para mostrar que o limite não existe. Observe que: 0 <= |x^2y| / (x^4 + y^2) <= |x^2y| / x^4 = |y| / x^2 Agora, considere a trajetória y = mx^2, onde m é uma constante. Substituindo y por mx^2 na expressão acima, temos: 0 <= |mx^4| / (x^4 + m^2x^4) <= |mx^2| / x^2 = |m|x^2 Tomando o limite quando (x,y) -> (0,0), temos: lim 0 <= lim |x^2y| / (x^4 + y^2) <= lim |y| / x^2 (x,y)->(0,0) (x,y)->(0,0) (x,y)->(0,0) lim 0 = 0 (x,y)->(0,0) lim |y| / x^2 não existe, pois os limites laterais são diferentes ao longo das trajetórias y = mx^2 e x = 0. Portanto, pelo critério do sanduíche, concluímos que o limite não existe.

a) Considere as trajetórias y = mx, onde m é uma constante. Substituindo na expressão da função, temos:

lim f(x,mx) = 2mx^2 / (x^2 + m^2 x^2)

= 2m / (1 + m^2)

Se escolhermos m = 1 e m = -1, teremos:

lim f(x,x) = 2 / 2 = 1

lim f(x,-x) = -2 / 2 = -1

Como esses valores são diferentes, concluímos que o limite não existe.

b) Novamente, considerando as trajetórias y = mx, temos:

lim f(x,mx) = (x^2 - m^2 x^2) / (x^2 + m^2 x^2)

= 1 - m^2 / (1 + m^2)

Escolhendo m = 1 e m = -1, temos:

lim f(x,x) = 0

lim f(x,-x) = 0

Como ambos os valores são iguais, podemos tentar outras trajetórias. Se considerarmos a trajetória y = x^2, temos:

lim f(x,x^2) = (x^4 - x^4) / (x^4 + x^4)

= 0/2

= 0

Portanto, os limites parciais iterados são iguais a 0. No entanto, isso não implica que o limite exista, pois há outras trajetórias possíveis. De fato, se considerarmos a trajetória y = x, teremos:

lim f(x,x) = 0/2

= 0

Mas se considerarmos a trajetória y = x + kx^2, onde k é uma constante positiva, teremos:

lim f(x,x+kx^2) = (x^2 - (x+kx^2)^2) / (x^2 + (x+kx^2)^2)

= -3kx^4 / (1+2k^2)x^4

Se escolhermos k = 1/√2, teremos:

lim f(x,x+x^2/√2) = -3/(1+1) = -3/2

Portanto, concluímos que o limite não existe.

c) Novamente, considerando as trajetórias y = mx, temos:

lim f(x,mx) = mx^3 / (x^4 + m^2 x^2)

= m / (x^2/m + 1)

Escolhendo m = 1 e m = -1, temos:

lim f(x,x) = 1/2

lim f(x,-x) = -1/2

Como esses valores são diferentes, concluímos que o limite não existe.