Determine os valores de α para os quais a série P∞ n=1 nαn é convergente.

Para determinar os valores de α para os quais a série P∞ n=1 nαn é convergente, podemos utilizar o critério da razão. Assim, temos que: lim n→∞ |(n+1)α(n+1)/(nαn)| = lim n→∞ |(n+1)/n|α = lim n→∞ (n+1)/n * α Se lim n→∞ (n+1)/n * α < 1, então a série é convergente. Caso contrário, é divergente. Podemos reescrever a expressão acima como: lim n→∞ (n+1)/n * α = lim n→∞ 1 + 1/n * α Se α > 0, então lim n→∞ 1 + 1/n * α = 1, e a série é convergente. Se α ≤ 0, então lim n→∞ 1 + 1/n * α > 1, e a série é divergente. Portanto, a série é convergente para α > 0 e divergente para α ≤ 0.