Sabemos que um ponto (a,b) do domínio de uma função f(x,y) para o qual as derivadas fx e fy existem é chamado de ponto crítico de ƒ se: f(a,b)=0 e ...

A alternativa correta é a III. A função f(x,y) = y²x² tem as seguintes derivadas parciais: - fx(x,y) = 2xy² - fy(x,y) = 2yx Para encontrar os pontos críticos, precisamos igualar as derivadas a zero: - fx(x,y) = 2xy² = 0 - fy(x,y) = 2yx = 0 Assim, temos dois pontos críticos: (0,0) e (a,0), onde a é qualquer número real diferente de zero. Agora, vamos analisar as afirmações: I. f(x,y) = -2x e f(x,y) = 2y são as derivadas parciais de f(x,y), e não os valores das derivadas parciais nos pontos críticos. Portanto, essa afirmação está incorreta. II. f(0,0) = 0 e f,(0,0) = 0, e não -2 e 2. Portanto, essa afirmação está incorreta. III. O ponto crítico (0,0) é válido, e é o único ponto crítico da função. Portanto, essa afirmação está correta. IV. A superfície z = y² - x² não é a mesma que a função f(x,y) = y²x². Portanto, essa afirmação está incorreta. Assim, a alternativa correta é a III.