Problema 13 Si ???? = {????1, ????2, ????3} es una base de un espacio o subespacio, demostrar que el conjunto ???? = {????1, ????1 + ????2, ????1 + ????2 + ????3}...

Para demonstrar que o conjunto ???? = {????1, ????1 + ????2, ????1 + ????2 + ????3} é uma base do espaço ou subespaço, precisamos mostrar que ele é linearmente independente e que gera o espaço ou subespaço. Para mostrar que o conjunto é linearmente independente, precisamos mostrar que a única combinação linear que resulta no vetor nulo é a combinação linear trivial. Ou seja, precisamos mostrar que a equação a????1 + b(????1 + ????2) + c(????1 + ????2 + ????3) = 0 só tem solução para a = b = c = 0. Podemos reescrever a equação acima como (a + b + c)????1 + (b + c)????2 + c????3 = 0. Como ???? é uma base, sabemos que ????1, ????2 e ????3 são linearmente independentes, o que significa que a única solução para a equação acima é a = b = c = 0. Portanto, o conjunto ???? é linearmente independente. Para mostrar que o conjunto ???? gera o espaço ou subespaço, precisamos mostrar que todo vetor do espaço ou subespaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em ????. Seja ???? um vetor qualquer do espaço ou subespaço. Como ???? é uma base, podemos escrever ???? como uma combinação linear dos vetores em ???? da seguinte forma: ???? = a????1 + b????2 + c????3. Podemos reescrever essa equação como ???? = a????1 + b(????1 + ????2) + c(????1 + ????2 + ????3), o que significa que ???? pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em ????. Portanto, o conjunto ???? = {????1, ????1 + ????2, ????1 + ????2 + ????3} é uma base do espaço ou subespaço.