2 - 2.0) Sabendo que ∫ 1 x2 + 1 dx = arctg(x) + C, mostre por que ∫ 1 y2 + b2 dy = 1 b arctg ( y b ) + C.

Para mostrar que a integral ∫(1/(y^2 + b^2)) dy é igual a (1/b) arctg(y/b) + C, podemos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos fazer a substituição y = b * tan(u). Nesse caso, dy = b * sec^2(u) du. Substituindo esses valores na integral, temos: ∫(1/(y^2 + b^2)) dy = ∫(1/(b^2 * tan^2(u) + b^2)) * b * sec^2(u) du Simplificando a expressão dentro do integral, temos: ∫(1/(b^2 * (tan^2(u) + 1))) * b * sec^2(u) du = ∫(1/(b^2 * sec^2(u))) * b * sec^2(u) du As sec^2(u) se cancelam, resultando em: ∫(1/b^2) du = (1/b^2) * u + C Substituindo u de volta para y/b, temos: (1/b^2) * u = (1/b^2) * arctg(y/b) Portanto, a integral original é igual a (1/b) arctg(y/b) + C.