02-E. Hallar la solución general de las siguientes EDO: a) 06 = −y′′ − y′ + y b) 06416 = y′′ − y′ + y c) 0172 = y′′ + y′ + y d) 03142 = y′′ − y′ ...

Vamos resolver cada uma das equações diferenciais ordinárias (EDOs) apresentadas: a) 06 = -y'' - y' + y Para resolver essa EDO, podemos usar o método da equação característica. Suponha que a solução seja da forma y = e^(rt), onde r é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação, temos: 0 = -r^2e^(rt) - re^(rt) + e^(rt) Simplificando e dividindo por e^(rt), obtemos: 0 = -r^2 - r + 1 Essa é uma equação quadrática. Resolvendo-a, encontramos duas raízes complexas conjugadas: r = (-1 ± √3i)/2. Portanto, a solução geral dessa EDO é: y = c1e^((-1 + √3i)t)/2 + c2e^((-1 - √3i)t)/2 onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. b) 06416 = y'' - y' + y Novamente, podemos usar o método da equação característica. Suponha que a solução seja da forma y = e^(rt). Substituindo na equação, temos: 6416 = r^2e^(rt) - re^(rt) + e^(rt) Simplificando e dividindo por e^(rt), obtemos: 6416 = r^2 - r + 1 Essa é uma equação quadrática. Resolvendo-a, encontramos duas raízes reais: r = (1 ± √6415)/2. Portanto, a solução geral dessa EDO é: y = c1e^((1 + √6415)t)/2 + c2e^((1 - √6415)t)/2 onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. c) 0172 = y'' + y' + y Mais uma vez, podemos usar o método da equação característica. Suponha que a solução seja da forma y = e^(rt). Substituindo na equação, temos: 172 = r^2e^(rt) + re^(rt) + e^(rt) Simplificando e dividindo por e^(rt), obtemos: 172 = r^2 + r + 1 Essa é uma equação quadrática. Resolvendo-a, encontramos duas raízes reais: r = (-1 ± √67)/2. Portanto, a solução geral dessa EDO é: y = c1e^((-1 + √67)t)/2 + c2e^((-1 - √67)t)/2 onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. d) 03142 = y'' - y' Essa equação não possui um termo y, portanto, é uma equação diferencial de segunda ordem homogênea. Podemos resolver essa EDO encontrando as raízes do polinômio característico. O polinômio característico é dado por r^2 - r = 0, que possui duas raízes: r = 0 e r = 1. Portanto, a solução geral dessa EDO é: y = c1e^0t + c2e^1t Simplificando, temos: y = c1 + c2e^t onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. e) 024 = y'' + y' + y Essa EDO também pode ser resolvida usando o método da equação característica. Suponha que a solução seja da forma y = e^(rt). Substituindo na equação, temos: 24 = r^2e^(rt) + re^(rt) + e^(rt) Simplificando e dividindo por e^(rt), obtemos: 24 = r^2 + r + 1 Essa é uma equação quadrática. Resolvendo-a, encontramos duas raízes reais: r = (-1 ± √95)/2. Portanto, a solução geral dessa EDO é: y = c1e^((-1 + √95)t)/2 + c2e^((-1 - √95)t)/2 onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. Espero que isso ajude! Se você tiver mais perguntas, é só me avisar.