Mínimo común múltiplo En matemáticas, el mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m), de dos o más números naturales es el menor número natural que es ...

Mínimo común múltiplo
En matemáticas, el mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m), de dos o más números
naturales es el menor número natural que es múltiplo común de todos ellos (o el ínfimo
del conjunto de los múltiplos comunes). Este concepto ha estado ligado históricamente
con números naturales, pero se puede usar para enteros negativos o enteros gaussianos.
Índice
• 1 Cálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m)
• 2 Propiedades básicas
• 3 Aplicaciones del mínimo común múltiplo
o 3.1 Suma de fracciones
o 3.2 Expresiones algebraicas
• 4 Algoritmo de cálculo
• 5 Generalización del concepto de m.c.m. y m.c.d.
• 6 Véase también
• 7 Referencias
• 8 Enlaces externos
Cálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m)
Partiendo de 2 o más números y por descomposición en factores primos, expresados
como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de
multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por
ejemplo el mcm de 72 y 50 será:




Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:

Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo
común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo
común divisor. Propiedades básicas
1. Si a es un entero, entonces [a, a] = a
2. Cuando a y b son enteros, [a, b] = b si, sólo si b es múltiplo de a.
3. (a,b) = [a,b] si son iguales u opuestos.
4. [a, b] = [ab] si, sólo si (a,b)= 1
5. [a/d, b/d] = [m/a, m/b] donde m = mcm y d = mcd.1
6. [ma,b]= m[a,b] si ([a,b]/a,m) = 12
7. [a,b,c]= [[a,b], [b,c]]
8. [a, b, c]|abc, donde abc ≠ 0
9. [a,b,c] = abc (a,b,c)/(a,b)(b,c)(c,d)3
• Si el producto de dos números lo dividimos por su máximo común divisor dicho
cociente es el mínimo común múltiplo.
A y B que descompuestos en números primos será A=(p1·p2)·p3·p4 y
B=(p1·p2)·p5·p6 donde si m.c.d. es (p1·p2) y el producto de
A·B=(p1·p2)·p3·p4·(p1·p2)·p5·p6 donde vemos que (p1·p2) está repetido dos
veces, luego si dividimos ese total por (p1·p2) tendremos el total menor que
contiene a A y B siendo su mcm
• El mínimo común múltiplo de dos números, donde el menor divide al mayor,
será el mayor. Es lógico ya que un múltiplo de ambos inferior al mayor sería
imposible ya que no sería múltiplo del mayor.
• El mínimo común múltiplo de dos números primos es el total de su
multiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1.
• El mínimo común múltiplo de dos números compuestos será igual al cociente
entre su producto y el m.c.d de ellos. Es evidente según la propiedad 1 de este
tema.
• El máximo común divisor de varios números es un divisor del mínimo común
múltiplo de tales números.4
• Sea mZ el conjunto de los múltiplos del entero m, nZ el del entero n. Entonces el
conjunto nZ∩mZ está formado por los múltiplos comunes de m y n; en otra
notación es el conjunto [m,n]Z.5
Aplicaciones del mínimo común múltiplo
Suma de fracciones
Véase también: Mínimo común denominador
Véase también: Fracción
El mcm se puede emplear para sumar o restar fracciones de distinto denominador,
tomando el mcm de los denominadores de las fracciones, y convirtiéndolas en
fracciones equivalentes que puedan ser sumadas. Véase el siguiente ejemplo: Para poder efectuar la suma, primero se debe buscar el mínimo común múltiplo de los
denominadores (6 y 33)




luego el mínimo común múltiplo de 6 y 33 es:

que corresponde al número 66; ambas fracciones tendrán como denominador 66, ahora
sólo hay que hallar a cada fracción su fracción equivalente, con denominador 66 y será
posible la suma:

operando las fracciones, podemos realizar la suma: