Determine a derivada direcional da função f(x,y) =2x2y+5�(�,�) =2�2�+5, na direção do vetor (√3 2, −12)(32, −12) no ponto (x,y) = (1,1). 2√3−123−...

Para determinar a derivada direcional da função f(x, y) = 2x^2y + 5 no ponto (1, 1) na direção do vetor (√3/2, -1/2), podemos usar a fórmula: Df = ∇f · u Onde ∇f é o gradiente da função f(x, y) e u é o vetor unitário na direção dada. Primeiro, vamos calcular o gradiente de f(x, y): ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) Calculando as derivadas parciais: ∂f/∂x = 4xy ∂f/∂y = 2x^2 Agora, vamos calcular o vetor unitário u na direção do vetor (√3/2, -1/2): u = (√3/2, -1/2) / ||(√3/2, -1/2)|| Calculando a norma do vetor (√3/2, -1/2): ||(√3/2, -1/2)|| = √((√3/2)^2 + (-1/2)^2) = √(3/4 + 1/4) = √1 = 1 Portanto, o vetor unitário u é: u = (√3/2, -1/2) Agora, vamos calcular a derivada direcional Df: Df = ∇f · u = (∂f/∂x, ∂f/∂y) · (√3/2, -1/2) = (4xy, 2x^2) · (√3/2, -1/2) = 4xy√3/2 - 2x^2/2 Substituindo o ponto (x, y) = (1, 1): Df = 4(1)(1)√3/2 - 2(1)^2/2 = 2√3 - 1 Portanto, a derivada direcional da função f(x, y) = 2x^2y + 5 no ponto (1, 1) na direção do vetor (√3/2, -1/2) é 2√3 - 1.