Cálculo de Múltiplas Variáveis Simulado 1

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1a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Uma pessoa está caminhando em um parque, seguindo uma trilha sinuosa que segue as direções indicadas por setas. Esse exemplo ilustra um conceito fundamental em vetores, que é:
		
	
	O vetor como uma grandeza escalar.
	 
	O vetor como uma quantidade aleatória de deslocamento.
	
	O vetor como uma quantidade puramente numérica.
	 
	O vetor como uma quantidade vetorial com direção e sentido.
	
	O vetor como uma medida de distância percorrida.
	Respondido em 11/07/2023 09:27:34
	
	Explicação:
O vetor é definido não apenas por seu valor (módulo), mas também por sua direção e seu sentido. Ele representa uma quantidade que possui uma orientação específica no espaço.
	
		2a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	 Qual é a equação polar da curva definida pela função →G (u) =⟨2u, 2u⟩�→ (�) =⟨2�, 2�⟩ , com u>0 ?
		
	
	 ρ =θ� =�
	
	 ρ =2� =2
	
	 ρ =1+senθ� =1+����
	 
	 θ =π4� =�4
	
	 ρ =cosθ� =����
	Respondido em 11/07/2023 09:28:23
	
	Explicação:
A resposta correta é  θ =π4� =�4
	
		3a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o movimento de partículas em um espaço tridimensional, a distribuição de temperatura em um objeto ou a variação da pressão em um fluido. Considere uma placa de metal cuja temperatura (em∘C)(��∘�) é dada por T(x,y)=36−2x2−4y2�(�,�)=36−2�2−4�2, onde x� e y são medidos em centímetros e um objeto está no ponto P=(2,1)�=(2,1). Determine a temperatura do objeto se este for na direção do vetor v=�= (1,1)(1,1).
		
	
	16√2162.
	 
	−8√2−82.
	
	0.
	
	−16√2−162.
	
	8√282.
	Respondido em 11/07/2023 09:30:53
	
	Explicação:
Calculando a derivada direcional:
∂T∂x(x,y)=∇f(P)⋅v∥v∥=(−8,−8)⋅(1,1)√12+12=(−8,−8)⋅(1√2,1√2)=−8√2−8√2=−16√2∂T∂x(x,y)=−16√22=−8√2 Logo, ∂T∂x(x,y)=−8√2<0⇒ resfriando ∂�∂�(�,�)=∇�(�)⋅�‖�‖=(−8,−8)⋅(1,1)12+12=(−8,−8)⋅(12,12)=−82−82=−162∂�∂�(�,�)=−1622=−82 Logo, ∂�∂�(�,�)=−82<0⇒ resfriando 
	
		4a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Determine a derivada direcional da função f(x,y) =2x2y+5�(�,�) =2�2�+5, na direção do vetor (√32, −12)(32, −12) no ponto (x,y) = (1,1).
		
	 
	2√3−123−1
	
	√3+13+1
	 
	2√3+123+1
	
	1−√31−3
	
	2√323
	Respondido em 11/07/2023 09:32:38
	
	Explicação:
A resposta correta é: 2√3+123+1
	
		5a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Determine o valor da integral ∬S (x+2y)dx dy∬� (�+2�)�� �� , sendo S a área definida pelas retas x +y - 4 = 0, x = y e 0 ≤ x≤ 3. 
		
	
	463463
	 
	563563
	 
	763763
	
	963963
	
	863863
	Respondido em 11/07/2023 09:38:14
	
	Explicação:
A resposta correta é: 763763
	
		6a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	As integrais duplas também são usadas para calcular o centro de massa de objetos sólidos com formas complicadas. O centro de massa é um ponto que representa o equilíbrio de um objeto em relação a um sistema de coordenadas. Calcule as coordenadas x�  e y�  do centro de massa de um conjunto B, sendo um quadrado delimitado por 0≤x≤10≤�≤1  e 0≤y≤10≤�≤1 , se a densidade da região é dada por δ(x,y)=y�(�,�)=�.
		
	 
	 (23,12)(23,12).
	
	 (32,23)(32,23).
	
	 (13,23)(13,23).
	
	 (12,13)(12,13).
	 
	 (12,23)(12,23).
	Respondido em 11/07/2023 09:42:29
	
	Explicação:
Para calcular o centro de massa da região, é necessário encontrar as coordenadas x� e y� do ponto (xC,yC)(��,��) que representam o equilíbrio do objeto em relação ao sistema de coordenadas. As coordenadas são dadas por:
xC=∬Bxdm∬BdmyC=∬Bydm∬Bdm��=∬�xdm∬�dm��=∬�ydm∬�dm
Onde o elemento de massa é dado por:
dm=δ(x,y)dxdy��=�(x,y)dxdy
No nosso caso,  é dado no enunciado como um quadrado, tal que: 0≤x≤1$e$0≤y≤10≤�≤1$�$0≤�≤1
Calculando a coordenada  x�:
∬Bxdm=∫10[∫10xydx]dy=∫10y[x22]∣∣10dy=∫10y2dy=[y24]∣∣∣10=14∬�xdm=∫01[∫01����]��=∫01�[�22]|01��=∫01�2��=[�24]|01=14
e
∬Bdm=∫10[∫10ydx]dy=∫10y[x]∣∣∣10dy=∫10ydy=[y22]∣∣
∣∣10=12xC=∬Bxdm∬Bdm=1/41/2=12∬�dm=∫01[∫01���]��=∫01�[�]|01��=∫01���=[�22]|01=12��=∬�xdm∬�dm=1/41/2=12
Calculando a coordenada  y�:
∬Bydm=∫10[∫10y2dx]dy=∫10y2[x]∣∣10dy=∫10y2dy=[y33]∣∣∣10=13∬�ydm=∫01[∫01�2��]��=∫01�2[�]|01��=∫01�2��=[�33]|01=13
E
∬Bdm=∫10[∫10ydx]dy=∫10y[x]∣∣∣10dy=∫10ydy=[y22]∣∣
∣∣10=12yC=∬Bydm∬Bdm=1/31/2=23∬�dm=∫01[∫01���]��=∫01�[�]|01��=∫01���=[�22]|01=12��=∬�ydm∬�dm=1/31/2=23
Logo, (12,23)(12,23).
	
		7a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Determine o valor da integral ∭V 64z dxdydz∭� 64� ������, onde V está contido na região definida por {(r,φ,θ)∈R3/ 1≤r≤2, 0≤θ≤π4 e 0≤φ≤π4}{(�,�,�)∈�3/ 1≤�≤2, 0≤�≤�4 � 0≤�≤�4}.  
		
	
	25π25�
	 
	15π15�
	
	20π20�
	
	30π30�
	
	10π10�
	Respondido em 11/07/2023 09:46:31
	
	Explicação:
A resposta correta é: 15π15�
	
		8a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	A integração é usada em problemas de otimização, como o cálculo de centros de massa e momentos de inércia. Determine o centro de massa do cubo  0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤10≤�≤1, 0≤�≤1, 0≤�≤1, cuja densidade no ponto (x,y,z)(�,�,�) é  ρ(x,y,z)=x�(�,�,�)=�.
		
	
	(23,23,23).(23,23,23).
	
	(12,23,12).(12,23,12).
	
	(12,12,12).(12,12,12).
	 
	(23,12,12).(23,12,12).
	
	(23,23,12).(23,23,12).
	Respondido em 11/07/2023 09:48:32
	
	Explicação:
As coordenadas do centro de massa de um sólido são dadas por:
¯x=Myzm;¯y=Mxzm;¯z=Mxym�¯=����;�¯=����;�¯=����
Onde M�  são os momentos e m�  é a massa total do sólido. 
Calculando a massa  m�, para um cubo 0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤10≤�≤1,0≤�≤1,0≤�≤1
m=∭Wρ(x,y,z)dV=∭WxdV=∫10∫10∫10xdxdydz=∫10∫10x22∣∣∣10dydz=12∫10∫10dydz=m=12∫10y∣∣∣10dz=12∫10dz=12z∣∣∣10=12�=∭��(�,�,�)��=∭����=∫01∫01∫01�������=∫01∫01�22|01����=12∫01∫01����=�=12∫01�|01��=12∫01��=12�|01=12
Calculando os momentos:
Myz=∭Wxρ(x,y,z)dV=∭Wx2dV=∫10∫10∫10xdxdydz=∫10∫10x33∣∣∣10dydz=13∫10∫10dydz=13Mxy=∭Wzρ(x,y,z)dV=∭WxzdV=∫10∫10∫10xzdxdzdy=∫10∫10x22z∣∣∣10dzdy=12∫10∫10zdzdy==12∫10z22∣∣∣10dy=14∫10dy=14Mxz=∭Wyρ(x,y,z)dV=∭WxydV=∫10∫10∫10xydxdzdy=∫10∫10x22y∣∣∣10dydz=12∫10∫10ydydz==12∫10y22∣∣∣10dz=14∫10dz=14���=∭���(�,�,�)��=∭��2��=∫01∫01∫01�������=∫01∫01�33|01����=13∫01∫01����=13���=∭���(�,�,�)��=∭�����=∫01∫01∫01��������=∫01∫01�22�|01����=12∫01∫01�����==12∫01�22|01��=14∫01��=14���=∭���(�,�,�)��=∭�����=∫01∫01∫01��������=∫01∫01�22�|01����=12∫01∫01�����==12∫01�22|01��=14∫01��=14
Voltando para o cálculo do centro de massa:
¯x=Myzm=1/31/2=23�¯=����=1/31/2=23
¯y=Mxzm=1/41/2=12¯z=Mxym=1/41/2=12�¯=����=1/41/2=12�¯=����=1/41/2=12
Logo,
(¯x,¯y,¯z)=(23,12,12)(�¯,�¯,�¯)=(23,12,12)
	
		9a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Sejam os campos vetoriais →G(u,v,w)=⟨u+w,v+u,w+1⟩�→(�,�,�)=⟨�+�,�+�,�+1⟩, →F(x,y,z)=⟨x−2y,2y−z,x+y⟩�→(�,�,�)=⟨�−2�,2�−�,�+�⟩ e →H(u,v)=⟨2−u2,v2,3v⟩�→(�,�)=⟨2−�2,�2,3�⟩. Determine o módulo da imagem do campo vetorial →Q(x,y,z)�→(�,�,�), para o ponto (x,y,z) = (0,1, - 1). Sabe-se que →Q(x,y,z)=2→G(x,y,z)×(→F(x,y,z)+→H(x,y))�→(�,�,�)=2�→(�,�,�)×(�→(�,�,�)+�→(�,�)).
		
	
	4√242
	
	6√262
	
	√33
	
	6√363
	 
	8√383
	Respondido em 11/07/2023 09:48:53
	
	Explicação:
Resposta correta: 8√383
	
		10a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois permite trabalhar com um campo escalar, quando se depende de várias variáveis. Considere a curva C parametrizada por →σ=(e−t,sen(πt)),1≤t≤2�→=(�−�,���(��)),1≤�≤2, onde →F=2xcos(y),−x2sen(y)�→=2����(�),−�2���(�), o valor de ∫C=F.dr∫�=�.�� é:
		
	
	e2cos(1)−2�2���(1)−2
	
	e2cos(2)+1�2���(2)+1
	
	e2cos(1)+1�2���(1)+1
	 
	e2cos(1)−1�2���(1)−1
	
	e2cos(2)−1�2���(2)−1
	Respondido em 11/07/2023 09:50:45
	
	Explicação: