22. Considere las bases B = {e1, e2, e3} y B´ = {e1´, e2´, e3´}, donde los vectores se relacionan a partir de e1 ´=e1 – e2 – e3; e2´=e2 + e3; e3´= ...

a. Para determinar se B' é uma base do espaço tridimensional, precisamos verificar se os vetores em B' são linearmente independentes e se geram todo o espaço. Podemos fazer isso verificando se a matriz de transição de B para B' é invertível. A matriz de transição é formada pelos vetores de B' expressos em termos dos vetores de B. A matriz de transição T é dada por: T = [e1' | e2' | e3'] Substituindo os valores dados: T = [e1 - e2 - e3 | e2 + e3 | e3] Podemos simplificar essa matriz: T = [1 -1 -1 | 0 1 1 | 0 0 1] Calculando o determinante dessa matriz, obtemos: det(T) = 1(1*1 - 1*1) - (-1)(0*1 - 1*0) - (-1)(0*1 - 1*0) = 1 - 0 + 0 = 1 Como o determinante é diferente de zero, a matriz de transição é invertível e, portanto, os vetores em B' são linearmente independentes. Além disso, como B' é formado por três vetores, que é a dimensão do espaço tridimensional, podemos concluir que B' é uma base desse espaço. b. Para encontrar as coordenadas do vetor [1, 2, 3] na base B', precisamos multiplicar a matriz de transição inversa pela coordenada do vetor na base B. A matriz de transição inversa T^(-1) é dada por: T^(-1) = [e1' | e2' | e3']^(-1) Substituindo os valores dados: T^(-1) = [1 -1 -1 | 0 1 1 | 0 0 1]^(-1) Podemos calcular a matriz inversa usando métodos de álgebra linear ou por meio de software de cálculo matricial. O resultado será: T^(-1) = [1 1 1 | 0 1 -1 | 0 0 1] Agora, multiplicamos a matriz inversa pela coordenada do vetor na base B: [1 1 1 | 0 1 -1 | 0 0 1] * [1, 2, 3]^T O resultado será as coordenadas do vetor [1, 2, 3] na base B'.