Um atleta bate uma falta em um jogo de futebol, imprimindo à bola uma velocidade inicial de módulo 90 km/h (25 m/s), inclinada de um ângulo θ em re...

a) Para determinar as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial da bola, podemos usar as relações trigonométricas. Sabemos que a velocidade inicial tem um módulo de 25 m/s e que o ângulo θ é dado por sen θ = 0,8 e cos θ = 0,6. A componente vertical da velocidade inicial (Vy) pode ser encontrada multiplicando o módulo da velocidade inicial pelo seno do ângulo θ: Vy = 25 m/s * sen θ = 25 m/s * 0,8 = 20 m/s. A componente horizontal da velocidade inicial (Vx) pode ser encontrada multiplicando o módulo da velocidade inicial pelo cosseno do ângulo θ: Vx = 25 m/s * cos θ = 25 m/s * 0,6 = 15 m/s. Portanto, as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial da bola são Vx = 15 m/s e Vy = 20 m/s, respectivamente. b) O tempo de voo da bola pode ser determinado usando a componente vertical da velocidade inicial e a aceleração da gravidade. Como a bola é lançada e retorna ao chão, o tempo de voo é o dobro do tempo que a bola leva para atingir a altura máxima. Usando a fórmula da velocidade final em um movimento vertical: Vy = Vy0 + gt, onde Vy é a velocidade final vertical, Vy0 é a velocidade inicial vertical, g é a aceleração da gravidade e t é o tempo. No ponto mais alto da trajetória, a velocidade final vertical é zero, então temos: 0 = Vy - gt. Podemos rearranjar essa equação para encontrar o tempo de subida (tsub): tsub = Vy / g. Como a bola retorna ao chão, o tempo de voo total é dado por: ttotal = 2 * tsub. Substituindo os valores conhecidos, temos: tsub = 20 m/s / 10 m/s² = 2 s. ttotal = 2 * 2 s = 4 s. Portanto, o tempo de voo da bola é de 4 segundos. c) A altura máxima atingida pela bola pode ser determinada usando a componente vertical da velocidade inicial e a aceleração da gravidade. No ponto mais alto da trajetória, a velocidade vertical é zero. Usando a fórmula da velocidade final em um movimento vertical: Vy = Vy0 + gt. No ponto mais alto, Vy é zero, então temos: 0 = Vy0 + gt. Podemos rearranjar essa equação para encontrar a altura máxima (hmax): hmax = (Vy0²) / (2g). Substituindo os valores conhecidos, temos: hmax = (20 m/s)² / (2 * 10 m/s²) = 200 m²/s² / 20 m/s² = 10 m. Portanto, a altura máxima atingida pela bola é de 10 metros. d) O alcance horizontal da bola pode ser determinado usando a componente horizontal da velocidade inicial e o tempo de voo. O alcance horizontal (R) é dado pela fórmula: R = Vx * ttotal. Substituindo os valores conhecidos, temos: R = 15 m/s * 4 s = 60 metros. Portanto, o alcance horizontal da bola é de 60 metros.