Sobre funções polinomiais e polinômios com coeficientes reais, assinale o que for correto. 01) Se ‘, ‘‚, ..., ‘Š são raízes do polinômio p(x) = aŠ...

Vamos analisar cada uma das alternativas: 01) Se ‘, ‘‚, ..., ‘Š são raízes do polinômio p(x) = aŠx¾ + ... + ax +a³, então p(x) = aŠ(x - ‘)(x - ‘‚) ... (x - ‘Š). Essa afirmação está correta. De acordo com o Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio de grau n possui exatamente n raízes complexas, contando com multiplicidade. Portanto, podemos escrever o polinômio p(x) como o produto dos fatores (x - ‘), (x - ‘‚), ..., (x - ‘Š). 02) Dividindo-se p(x) = x¦ - 5x£ + 7x - 9 por q(x) = (x - 1), obtém-se um resto igual a 3. Não é possível determinar o resto da divisão sem realizar a operação. Portanto, não podemos afirmar se essa alternativa está correta ou não. 04) Todo polinômio de grau ímpar tem, pelo menos, uma raiz real negativa. Essa afirmação está correta. De acordo com o Teorema de Bolzano, se um polinômio possui coeficientes reais e grau ímpar, então ele possui pelo menos uma raiz real. 08) Se a área de um retângulo é dada em função do comprimento x de um de seus lados por A(x) = 100x - 2x², x em metros, então o valor de x, para que o retângulo tenha área máxima, é 25. Essa afirmação está incorreta. Para encontrar o valor de x que maximiza a área do retângulo, devemos derivar a função A(x) em relação a x, igualar a derivada a zero e verificar se o ponto crítico é um máximo ou mínimo. Nesse caso, a derivada de A(x) é 100 - 4x, que igualada a zero resulta em x = 25/2. Portanto, o valor correto de x para maximizar a área é 25/2 e não 25. 16) Se o grau do polinômio p(x) é m e o grau do polinômio q(x) é n, então o grau de p(x) . q(x) é m + n e o grau de p(x) + q(x) ´ m + n. Essa afirmação está incorreta. O grau do produto de dois polinômios é a soma dos graus dos polinômios individuais, ou seja, o grau de p(x) . q(x) é m + n. No entanto, o grau da soma de dois polinômios é o maior entre os graus dos polinômios individuais, ou seja, o grau de p(x) + q(x) é max(m, n). 32) Os pontos x onde os gráficos das funções polinomiais p e q se interceptam são precisamente as raízes de p(x) - q(x). Essa afirmação está correta. Os pontos de interseção entre os gráficos das funções p(x) e q(x) são exatamente as soluções da equação p(x) - q(x) = 0, que correspondem às raízes do polinômio p(x) - q(x). 64) Todo polinômio de grau n tem n raízes reais. Essa afirmação está incorreta. Um polinômio de grau n pode ter no máximo n raízes reais, contando com multiplicidade. No entanto, nem sempre todas as raízes são reais. Portanto, as alternativas corretas são: 01, 04 e 32.