Exerćıcio 2: Determine a massa e o centro de massa de um arame com formato da hélice x = t, y = cos t e z = sen t, com 0 ≤ t ≤ 2π, se a densidade...

Para determinar a massa e o centro de massa do arame com formato de hélice, podemos utilizar o conceito de integral de linha. Primeiro, vamos calcular a massa do arame. A densidade em qualquer ponto é igual ao quadrado da distância do ponto à origem. Podemos escrever isso como ρ = r^2, onde r é a distância do ponto à origem. A massa do arame é dada pela integral de linha da densidade ao longo da hélice. Podemos escrever a integral de linha como: m = ∫ρ ds Onde ds é o elemento de comprimento ao longo da hélice. Podemos calcular ds usando a fórmula: ds = √(dx^2 + dy^2 + dz^2) Substituindo as coordenadas da hélice, temos: ds = √(dt^2 + (-sin(t))^2 + (cos(t))^2) = √(dt^2 + 1) Agora, podemos calcular a integral de linha da massa: m = ∫ρ ds = ∫(r^2) √(dt^2 + 1) Para calcular essa integral, precisamos encontrar a expressão de r em termos de t. Podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a distância r: r = √(x^2 + y^2 + z^2) = √(t^2 + cos^2(t) + sin^2(t)) = √(t^2 + 1) Agora, podemos substituir r na integral de linha da massa: m = ∫(r^2) √(dt^2 + 1) = ∫((t^2 + 1)^2) √(dt^2 + 1) Para calcular essa integral, você pode usar técnicas de integração. Após calcular a integral, você obterá a massa do arame. Para determinar o centro de massa, precisamos calcular as coordenadas x, y e z do centro de massa. Podemos usar as seguintes fórmulas: x = (1/m) ∫(x * ρ ds) y = (1/m) ∫(y * ρ ds) z = (1/m) ∫(z * ρ ds) Onde x, y e z são as coordenadas da hélice e ρ é a densidade. Substituindo as coordenadas da hélice e a densidade, podemos calcular as integrais acima para obter as coordenadas do centro de massa. Espero que isso ajude! Se você tiver alguma dúvida adicional, é só me perguntar.