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Universidade de Braśılia Departamento de Matemática Cálculo III Módulo 1 Lista 4 2.◦/2018 Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço ao lado do item e justificando a sua resposta. 1) Os alelos A, B e O determinam os tipos sangüineos A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO) e AB. Segundo a lei de Hardy-Weinberg, se x, y e z são as proporções dos alelos A, B e O em uma determinada população, então a proporção P de indiv́ıduos da população que possuem dois alelos distintos é dada por P = 2(xy + xz + yz). Observe que, como x + y + z = 1, tanto z como P podem ser expressos como funções z = z(x, y) e P = P (x, y) das variáveis x e y. A figura ilustra o domı́nio D da função P e os segmentos L1, L2 e L3 de modo que ∂D = L1 ∪ L2 ∪ L3. C E a) O domı́nio D intercepta a região x+ y > 1. C E b) O valor máximo de P sobre o segmento L3 é 1/2. C E c) O valor máximo de P sobre o bordo ∂D é 3/2. C E d) A função P possui dois pontos cŕıticos interiores ao domı́nio D. L1 L2 L3 D C E e) As proporções dos alelos A, B e O que maximizam a proporção P de indiv́ıduos com dois alelos distintos são x = 1/3, y = 1/3 e z = 1/3. 2) A produção do hormônio vegetal auxina em uma folhagem é uma função P (t, x) do tempo t e da intensidade luminosa x à qual a folhagem está exposta. Suponha que, em unidades apropriadas, a produção pode ser modelada pela função P : D −→ R dada por P (t, x) = t(10− x)e−2t/x, onde D = {(t, x) ∈ R 2; 0 ≤ t ≤ 15 e 1 ≤ x ≤ 7}. 15 1 7 L1 L3 L2 L4D a) Justifique a afirmação de que P (t, x) possui pontos de máximo e de mı́nimo absolutos em D. Resposta: b) Determine as derivadas parciais Pt(t, x) e Px(t, x). Resposta: c) Determine os pontos cŕıticos da função P no interior de D. Resposta: d) Determine o ponto de máximo de P na fronteira ∂D, que é assumido sobre o lado L3. Resposta: e) Usando os itens anteriores, determine o ponto de máximo absoluto de P em D. Resposta: Cálculo III Módulo 1 Lista 4 2.◦/2018 – 1/2 3) Um algoritmo de inteligência artificial dispõe das medidas padronizadas sn, das sépalas, e pn, das pétalas, de quatro flores. As duas primeiras flores são da espécie Setosa, e as duas últimas da espécie Versicolor. Com esses dados, e com constantes apropriadas en, o algoritmo primeiro calcula o ponto (x0, y0) que minimiza a função f(x, y) = 1 2 4 ∑ n=1 (en − xsn − ypn) 2 Dada as medidas padronizadas s e p de uma quinta flor, o al- goritmo decide qual a sua espécie a partir do sinal do número D = sx0 + py0: é Setosa se D ≥ 0, e Versicolor se D < 0. Use a notação ∑ 4 n=1 s2n = a, ∑ 4 n=1 p2n = b, ∑ 4 n=1 snpn = c, ∑ 4 n=1 ensn = d e ∑ 4 n=1 enpn = e. a) Justifique a afirmação de que f não possui ponto de máximo. b) Calcule fx e fy em termos das contantes a, b, c, d e e. c) Calcule os pontos cŕıticos de f sabendo que ab− c2 6= 0. d) Pode-se mostrar que f possui um ponto de mı́nimo. Use essa informação para justificar o fato de que os pontos cŕıticos de f são necessariamente pontos de mı́nimo. e) A quinta flor tem medidas padronizadas s = −0, 84 e p = −0, 85. Determine sua espécie usando os valores de ab− c2 = 7, 59, bd− ce = −3, 45 e ae− cd = −4, 14. 4) Considere A = [ 3 −1 −1 3 ] uma matriz simétrica, v = (x, y) um vetor, Av = (3x − y,−x + 3y) o produto de A por v e f(v) = 〈Av, v〉 = 3x2 − 2xy + 3y2 a forma quadrática correspondente. A função f é homogênea de grau 2, no sentido de que f(tv) = t2f(v) para quaisquer v e t. Em problemas de otimização é importante decidir se f muda ou não de sinal e, sendo homogênea, basta estudar o sinal de f nos pontos do ćırculo C : x2 + y2 = 1. Indique por g(x, y) = x2 + y2, de modo que C é a curva no ńıvel 1 de g. a) Justifique a afirmação de que f ∣ ∣ C possui pontos de máximo e de mı́nimo absolutos. b) Expresse os gradientes de f(v) e g(v) em termos da matriz A e do vetor v. Em seguida, verifique que v ∈ C é ponto cŕıtico de f ∣ ∣ C se, e somente se, Av = λv para algum λ ∈ R. c) Conclua que, se v ∈ C é um ponto cŕıtico com Av = λv, então f(v) = λ. d) Para que Av = λv, com v ∈ C, é necessário que det(A− λI) = 0, onde I = [ 1 0 0 1 ] é a matriz identidade. Use essa informação para obter os pontos cŕıticos de f ∣ ∣ C . e) Se v=‖v‖ v ‖v‖ é um ponto de R 2 \ {(0, 0)}, então f(v)=‖v‖2f( v ‖v‖ ), onde v ‖v‖ ∈ C. Use essa informação e os itens anteriores para decidir se f muda ou não de sinal em R 2. Cálculo III Módulo 1 Lista 4 2.◦/2018 – 2/2