Exerćıcio 6: Calcule a integral ∫ C √ 3xyz ds, onde C é a curva de interseção das superf́ıcies x2 + y2 + z2 = 16, x2 + y2 = 4, situada no prime...

Para calcular a integral ∫ C √ 3xyz ds, onde C é a curva de interseção das superfícies x² + y² + z² = 16 e x² + y² = 4, situada no primeiro octante, podemos utilizar o método de parametrização. Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Podemos escolher a parametrização x = 2cos(t), y = 2sen(t) e z = 2√(3)cos(t), onde 0 ≤ t ≤ π/2. Agora, vamos calcular a derivada da parametrização em relação a t. Temos dx/dt = -2sen(t), dy/dt = 2cos(t) e dz/dt = -2√(3)sen(t). Agora, vamos calcular a integral utilizando a fórmula da integral de linha. Temos: ∫ C √ 3xyz ds = ∫[0,π/2] √ 3(2cos(t))(2sen(t))(-2√(3)sen(t)) √((-2sen(t))² + (2cos(t))² + (-2√(3)sen(t))²) dt Simplificando a expressão, temos: ∫ C √ 3xyz ds = ∫[0,π/2] -24sen²(t)cos(t) dt Agora, podemos calcular a integral: ∫ C √ 3xyz ds = -24∫[0,π/2] sen²(t)cos(t) dt Para resolver essa integral, podemos utilizar a fórmula de redução de potência para seno: ∫ sen²(t)cos(t) dt = (1/3)sen³(t) + C Aplicando essa fórmula, temos: ∫ C √ 3xyz ds = -24[(1/3)sen³(t)]|[0,π/2] Substituindo os limites de integração, temos: ∫ C √ 3xyz ds = -24[(1/3)sen³(π/2) - (1/3)sen³(0)] Simplificando a expressão, temos: ∫ C √ 3xyz ds = -24[(1/3) - (1/3)(0)] Finalmente, temos: ∫ C √ 3xyz ds = -24(1/3) = -8 Portanto, o valor da integral ∫ C √ 3xyz ds é -8.