[Mudança de Base] (1,5 ponto) Dadas as bases A={(2,-1), (-1,1)} e B={(1,0), (2,1)} do ℝ2 , a) Determine a matriz M de mudança de base de A para B. ...

a) Para determinar a matriz de mudança de base de A para B, precisamos encontrar a matriz M tal que M[v]A = [v]B, onde [v]A representa as coordenadas do vetor v na base A e [v]B representa as coordenadas do vetor v na base B. Para encontrar M, vamos escrever as coordenadas dos vetores da base A e B como colunas de uma matriz e resolver o sistema de equações M[A] = B, onde A e B são as matrizes formadas pelas coordenadas dos vetores das bases A e B, respectivamente. A = | 2 -1 | | -1 1 | B = | 1 2 | | 0 1 | Vamos resolver o sistema de equações: M[A] = B | m11 m21 | | 2 -1 | | 1 2 | | m12 m22 | = | -1 1 | = | 0 1 | Resolvendo o sistema, encontramos: m11 = 1/3 m12 = 2/3 m21 = -1/3 m22 = 5/3 Portanto, a matriz de mudança de base de A para B é: M = | 1/3 2/3 | | -1/3 5/3 | b) Para calcular vB sabendo que vA = (4,3), basta multiplicar a matriz de mudança de base M pelo vetor vA: vB = M * vA vB = | 1/3 2/3 | * | 4 | | 3 | vB = | 10/3 | | 5/3 | Portanto, vB = (10/3, 5/3). c) Para determinar a matriz de mudança de base de B para A, podemos usar a mesma abordagem, resolvendo o sistema de equações M[B] = A. B = | 1 2 | | 0 1 | A = | 2 -1 | | -1 1 | Vamos resolver o sistema: M[B] = A | m11 m21 | | 1 2 | | 2 -1 | | m12 m22 | = | 0 1 | = | -1 1 | Resolvendo o sistema, encontramos: m11 = 1/3 m12 = -2/3 m21 = -1/3 m22 = 4/3 Portanto, a matriz de mudança de base de B para A é: M-1 = | 1/3 -2/3 | | -1/3 4/3 | d) Para calcular vA sabendo que vB = (7,-1), basta multiplicar a matriz de mudança de base M-1 pelo vetor vB: vA = M-1 * vB vA = | 1/3 -2/3 | * | 7 | | -1 | vA = | 3 | | 2 | Portanto, vA = (3, 2). Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.