3) R = Para provar P(n) 3 | 2n3 + n, para todo n inteiro positivo; Caso base: Se n = 1; fica P(1) 2 * 13 + 1 = 3; Passo indutivo: P(2): 3 | 2n3 + ...

A afirmação P(n) é que 3 é divisível por 2n³ + n, para todo n inteiro positivo. Para provar por indução, primeiro vamos verificar o caso base: Para n = 1, temos P(1): 2 * 1³ + 1 = 3. Como 3 é divisível por 3, o caso base é verdadeiro. Agora, vamos para o passo indutivo: Suponha que P(k) seja verdadeiro para algum k inteiro positivo, ou seja, 3 é divisível por 2k³ + k. Vamos provar que P(k+1) também é verdadeiro: P(k+1): 2 * (k+1)³ + (k+1) = 2k³ + 6k² + 6k + 2 + k + 1 = 2k³ + 6k² + 7k + 3. Podemos reescrever 2k³ + 6k² + 7k + 3 como 2k³ + k + (5k² + 6k + 3). Sabemos que 3 é divisível por 2k³ + k (hipótese de indução). Agora, precisamos mostrar que 3 é divisível por 5k² + 6k + 3. Podemos reescrever 5k² + 6k + 3 como 3k² + 2k + (2k² + 4k + 3). Sabemos que 3 é divisível por 3k² + 2k (hipótese de indução). Agora, precisamos mostrar que 3 é divisível por 2k² + 4k + 3. Podemos reescrever 2k² + 4k + 3 como 2k² + k + (3k + 3). Sabemos que 3 é divisível por 2k² + k (hipótese de indução). Agora, precisamos mostrar que 3 é divisível por 3k + 3. Podemos reescrever 3k + 3 como 3(k + 1). Sabemos que 3 é divisível por 3(k + 1). Portanto, P(k+1) é verdadeiro. Concluímos que, por indução, a afirmação P(n) é verdadeira para todo n inteiro positivo.