Avaliação Parcial 02

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO 
MATEMÁTICA DISCRETA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 AVALIAÇÃO PARCIAL - 02 
 Chrystian Gemaque Maciel - 501212 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUIXADÁ 
 2021 
1) R = Para os itens a, b e c: 
Por prova direta, no que um número natural n divide 3 e depois subtrai-se 1, tem-se abaixo 
uma relação de recorrência onde temos uma progressão geométrica que começa em 
oposição ao teorema que afirma que tem que ser um número natural, porém começa com 
fracionários negativos até atingir o lado positivo. Provando ser falso o teorema dessa 
sequencia. 
an = n/3 – 1  a1 = 1/3 = 0,33 – 1 = -0,66; a2 = 2/3 = 0,66 – 1 = -0,33; a3 = 3/3 = 1 – 1 = 
0; a4 = 4/3 = 1,33 – 1 = 0,33; a5 = 5/3 = 1,66 – 1 = 0,66; a6 = 6/3 = 2 – 1 = 1. 
 
2) a) 25Σj=1(3j+8) 
25Σj=1 3j + 25Σj=1 8 Aplicando a regra da soma Σan + bn = Σan +Σbn; 
Temos 25Σj=13j; 
3 * 25Σj=1j Aplicando a regra da multiplicação por uma constante Σc*an = c * Σan; 
1/2 * 25(25 +1)  Usando a formula da soma nΣk=1k=1/2n(n+1); 
Teremos 25 * 26 * 1/2;  25 + 1 foi somado; 
1 * 25 * 26 / 2  Multiplicando as frações a* b/c = a*b/c, e multiplicando os números 
depois fica: 650/2 = 325, e multiplicando por 3 da regra da multiplicação, fica 975; 
Agora falta a outra notação sigma 25Σj=1 8; 
Aplicando a formula da soma nΣk=1 a = a * n; com o a = 8 e n = 25  8 * 25 = 200; 
Por fim somando as duas 975 + 200, temos como resultado 1175. 
 
b) 6Σj = 1 (3 * 2j)  Usando uma formula de progressão geométrica para auxiliar  
an =a0 * rn-1; sendo então aj = 3 * 2j, aj + 1 = 3 * 2(j + 1); 
Calculando os termos adjacentes: r = aj+1/aj  3 * 2(j+1)/ 3 * 2j = 2; sendo a razão 
dos termos adjacentes r = 2; com isso o primeiro elemento é a1 = 3 * 21 = 6; tendo 
esse resultado de a1, podemos calcular o enésimo termo com: aj = a1 * rj-1  ficando 
aj = 6 * 2j-1, que simplificando temos aj = 3 * 2j, tendo que j = 6 agora, farei uma 
multiplicação de frações 6 * 1 - 26/1 - 2  ficando (1 - 26) * 6/1 – 2, subtraindo o 1 -
2, resulta em -378 / 1; usando então a propriedade das frações –a / -b = a / b; teremos 
378 / 1 e aplicando a regra a / 1 = a, chegamos ao resultado final que é 378. 
 
c)20Σ j=1(3j2 + 1)  Aplicando a regra da soma Σan + bn = Σan +Σbn, teremos 20Σj=13j2 
+ 20Σj=11; pegando a notação da esquerda e usando a regra da multiplicação por uma 
constante Σc*an = c * Σan  3 * 20Σj=1j2; aplicando a formula do soma nΣk=1k2 = 
1/6n(n+1)(2n+1), tendo n = 20; teremos 1/6 * 20(20 + 1)(2 * 20 + 1); somando 20+1 e 
multiplicando 2 * 20 e depois somando com 1 fica  20 * 21 * 1/6 * 41; usando a 
regra de multiplicar frações a * b/c = a * b / c  1 * 20 * 21 * 41 / 6 = 17220 / 6 = 
2870, e multiplicando por 3 fica 8610; pegando a notação sigma da direita aplicarei 
a formula da soma nΣk=1 a = a * n; onde o a = 1 e n = 20; tendo 1*20 = 20 e somando 
com o resultado da outra tem-se 8630. 
d) 20Σj=11(5j2+400)  Aplicando a regra de subtração nΣk = m = nΣk = 1 – m-1Σk=1, ficando 
20Σj = 15j2 + 400 - 10Σj=15j2 + 400; agora pegando a notação da esquerda 20Σj = 15j2 + 
400 e aplicando a regra da soma Σan + bn = Σan +Σbn, teremos 20Σj=15j2 + 20Σj=1400; 
utilizando agora a regra da multiplicação por uma constante Σc*an = c * Σan  5 * 
20Σj=1j2; aplicando a formula da soma nΣk=1k2 = 1/6n(n+1)(2n+1) com n = 20  1/6 * 
20(20 + 1)(2 * 20 + 1); somando 20+1 e multiplicando 2 * 20 e depois somando com 
1 fica  20 * 21 * 1/6 * 41; usando a regra de multiplicar frações a * b/c = a * b / c 
 1 * 20 * 21 * 41 / 6 = 17220 / 6 = 2870, obs: a resolução dessa parte ficou semelhante 
a do item c usando-se da propriedade da soma; com isso multiplicando 2870 por 5 
que estava isolado na notação sigma temos 14350; usando agora a outra notação 
sigma 20Σj=1400, irei utilizar a formula da soma nΣk=1 a = a * n, com a = 400 e n = 20. 
Ficando 400 * 20 = 8000, que somando com outro valor de 14350, obtêm-se 22350; 
utilizando a regra da soma mais uma vez Σan + bn = Σan +Σbn, temos 10Σj=15j2 + 
10Σj=1400; pegando o lado esquerdo dessa notação e usando a regra da multiplicação 
por uma constante Σc*an = c * Σan  5 10Σj=1j2, isolando o 5 e aplicando a formula 
da soma nΣk=1k2 = 1/6n(n+1)(2n+1), com n = 10  1/6 * 10(10 + 1)(2 * 10 + 1), que 
simplificando fica 10 * 11 * 21 * 1/6 e usando a técnica de multiplicar frações fica 1 
* 10 * 11 * 21 dividido por 6 que resulta em 2310 / 6 = 385, que multiplicando pelo 5 
que estava isolado resulta em 1925; agora pegando a notação do lado direito 
aplicarei a formula da soma nΣk=1a = a * n; aonde a = 400 em n = 10; ficando 400 * 
10 = 4000, que somando com o valor do lado esquerdo temos 5925; então retornando 
para a regra da subtração tendo os valores necessários para o somatório temos 22350 
– 5925 = 16425. 
3) R = Para provar P(n) 3 | 2n3 + n, para todo n inteiro positivo; 
Caso base: Se n = 1; fica P(1) 2 * 13 + 1 = 3; 
Passo indutivo: P(2): 3 | 2n3 + n  2 * 13 + 1 = 3  3 / 3 = 1; Provando ser verdade para 
esse teorema através da técnica de indução, para todo inteiro positivo n. 
4) R = Para provar P(n): 2 + 4 + 6...+ 2n = n2 + n, para todo n inteiro positivo; 
Caso base: Se n = 1, o lado direito da equação fica: P(1): 2 = 12 + 1  2 = 2, sendo 
verdade; 
Passo indutivo: P(n + 1): 2 + 4 + 6...+ 2n + 2(n + 1) = n2 + n + 2(n + 1) 
= n2 + n + 2n + 2 
= n2 + 2n + 1 + n + 1 
= (n + 1)2 + (n + 1); Provando então que por técnica de indução, a relação é verdadeira 
para todo número inteiro positivo n. 
5) a) R = Na relação R1{(1, 1),(2, 2),(1, 2),(2, 3),(1, 3),(3, 3),(2, 4),(4, 4)} não é uma ordem 
parcial pois ela não é Antissimétrica (a ≤ b e b ≤ a  a = b) nos pares sublinhados em 
vermelho; 
Na relação R2 ⊆ {x | x é um divisor de 42}2, com R2 = {(x, y) | x divide y}, nessa relação 
R2 não é antissimétrica porque pelos seus divisores de 42 {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} não 
há como se cumprir isso, também não é reflexiva pois teria que ter elementos onde x ≤ x 
|| y ≤ y; 
Na relação R3 {(x, y) | x − y ≥ 0}, não é uma relação de ordem parcial porque essa ordem 
não é transitiva, antissimétrica e nem reflexiva; 
Na relação R4 ⊆ Z2, com R4 = {(x, y) | x = y}, temos uma ordem parcial pois, temos 
Antissimétrica Quando a ≤ b e b ≤ a então a = b; 
Reflexiva: Quando a ≤ a; 
Transitiva: Quando a ≤ b, b ≤ c implica em a ≤ c. 
Ex: {......(-2, -2). (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)......} 
 
 
 
b) R = A relação de ordem parcial que identifiquei foi a Relação R4. 
i. Ela é total, pois apresenta os três requisitos que são, Antissimetria, Reflexividade e 
transitividade. 
Para as respostas de ii. e iii., quanto aos elementos não há como definir pois por se tratar 
de números inteiros são infinitos pares, tanto para negativos quanto para os inteiros. 
Questão Bônus 1: R = Para provar que a relação é verdadeira, a relação tem que ser: 
Reflexiva: Todo inteiro a divide a si mesmo, a|a; 
Anti-Simétrica: Quando a|b e b|a sendo a = b; 
Transitiva: Quando a|b e b|c e a|c. 
Então: Sendo X uma relação do inteiros positivos tal que ∀a,b ∈ Z+, a|b ⇔ b = n · a, para 
algum inteiro n. 
X é reflexiva se ∀a ∈ Z+, a|a; tendo a = 1 * a; e assim provando ser verdade que a 
divide a. 
X é anti-simétrica se ∀a ∈ Z+, a|b ∧ b|a, tendo a = b e vice-versa; E com isso existem 
inteiros n1 e n2, tal que b = n1 * a e a = n2 * b, ficando b = n1 * a = n1 * (n2 * b) = 
(n1 * n2) * b; ficando n1 * n2 = 1, n1 = n2 = 1; e assim a = n2 * b = 1 * b = b 
X é Transitiva quando ∀a, b, c ∈ Z+, quando a|b e b|c, então a|c.