4) R = Para provar P(n): 2 + 4 + 6...+ 2n = n2 + n, para todo n inteiro positivo; Caso base: Se n = 1, o lado direito da equação fica: P(1): 2 = 12...

A relação P(n): 2 + 4 + 6...+ 2n = n^2 + n, para todo n inteiro positivo, pode ser provada por indução matemática. Caso base: Para n = 1, temos P(1): 2 = 1^2 + 1 = 2, o que é verdadeiro. Passo indutivo: Suponha que a relação seja verdadeira para um certo valor k, ou seja, P(k): 2 + 4 + 6...+ 2k = k^2 + k. Agora, vamos provar que a relação também é verdadeira para k + 1, ou seja, P(k + 1): 2 + 4 + 6...+ 2k + 2(k + 1) = (k + 1)^2 + (k + 1). Podemos reescrever P(k + 1) como P(k) + 2(k + 1). Substituindo a hipótese de indução, temos: P(k) + 2(k + 1) = k^2 + k + 2(k + 1) = k^2 + k + 2k + 2 = k^2 + 3k + 2. Agora, vamos simplificar o lado direito da equação: (k + 1)^2 + (k + 1) = k^2 + 2k + 1 + k + 1 = k^2 + 3k + 2. Percebemos que o lado esquerdo e o lado direito da equação são iguais, portanto, a relação P(k + 1) também é verdadeira. Assim, por indução matemática, podemos concluir que a relação P(n): 2 + 4 + 6...+ 2n = n^2 + n é verdadeira para todo número inteiro positivo n.