Exercício 56 – (SILVA; CAVALHEIRO, 2012) Para que valor de m a expressão: ???? = ????(sen4(????) − cos4(????)) + 2cos2(????) − 1 +???? é independente de x?

Para que a expressão seja independente de x, é necessário que todos os termos que possuem x se anulem. Vamos analisar cada termo: 1) O termo m(sen^4(x) - cos^4(x)) possui x apenas nas funções seno e cosseno elevadas à quarta potência. Para que esse termo seja independente de x, é necessário que sen^4(x) - cos^4(x) seja igual a zero. Podemos utilizar a identidade trigonométrica sen^2(x) - cos^2(x) = 1 para reescrever essa expressão como (sen^2(x) - cos^2(x))(sen^2(x) + cos^2(x)) = 0. Como sen^2(x) + cos^2(x) é sempre igual a 1, a expressão se anula quando sen^2(x) - cos^2(x) = 0. Portanto, m será independente de x quando sen^2(x) - cos^2(x) = 0. 2) O termo 2cos^2(x) - 1 possui apenas a função cosseno elevada ao quadrado. Para que esse termo seja independente de x, é necessário que cos^2(x) seja igual a 1/2. Portanto, m será independente de x quando cos^2(x) = 1/2. 3) O termo +x não pode ser anulado, pois possui uma variável x. Portanto, para que a expressão seja independente de x, é necessário que sen^2(x) - cos^2(x) = 0 e cos^2(x) = 1/2.