1. Defina a diferença no corpo K por x− y = x + (−y) (a) Mostre que x− y = z ⇐⇒ x = y + z. (b) Mostre que o elemento neutro de K com relação a a...

(a) Para mostrar que x - y = z ⇐⇒ x = y + z, podemos fazer a seguinte demonstração: Se x - y = z, então podemos adicionar y em ambos os lados da equação: (x - y) + y = z + y x = y + z Por outro lado, se x = y + z, podemos substituir x na equação original: x - y = (y + z) - y x - y = z Portanto, x - y = z ⇐⇒ x = y + z. (b) Para mostrar que o elemento neutro de K em relação à adição é único, vamos supor que existam dois elementos neutros, denotados por 0 e 0'. Sabemos que para qualquer elemento x em K, temos x + 0 = x e x + 0' = x. Agora, vamos somar 0 e 0' em ambos os lados da segunda equação: (x + 0) + 0' = x + (0 + 0') Pela propriedade associativa da adição, temos: x + (0 + 0') = x + 0 Substituindo x + 0 por x na equação acima, temos: x + (0 + 0') = x Agora, vamos somar o inverso aditivo de x, denotado por -x, em ambos os lados da equação: (x + (0 + 0')) + (-x) = x + (-x) Pela propriedade associativa da adição, temos: x + ((0 + 0') + (-x)) = 0 Pela propriedade do elemento neutro, temos: x + 0' = 0 Mas isso implica que 0' é o inverso aditivo de x, o que contradiz a suposição de que 0' é um elemento neutro. Portanto, o elemento neutro de K em relação à adição é único. (c) Para mostrar que cada elemento de K possui um único simétrico, vamos supor que existam dois elementos simétricos para um mesmo elemento x, denotados por -x e -x'. Sabemos que x + (-x) = 0 e x + (-x') = 0. Agora, vamos somar -x' em ambos os lados da primeira equação: (x + (-x)) + (-x') = 0 + (-x') Pela propriedade associativa da adição, temos: x + ((-x) + (-x')) = (-x') Pela propriedade do inverso aditivo, temos: x + 0 = (-x') Mas isso implica que -x' é o inverso aditivo de x, o que contradiz a suposição de que -x' é um elemento simétrico. Portanto, cada elemento de K possui um único simétrico. (d) Para mostrar a Lei do corte para adição, vamos supor que x + z = y + z. Queremos provar que x = y. Podemos subtrair z em ambos os lados da equação: (x + z) - z = (y + z) - z x + (z - z) = y + (z - z) Pela propriedade do inverso aditivo, temos: x + 0 = y + 0 Pela propriedade do elemento neutro, temos: x = y Portanto, se x + z = y + z, então x = y, o que demonstra a Lei do corte para adição.