Encontre a imagem da função f(x, y, z) = arctan(x2 + y2 + z2). Mostre que as superf́ıcies de ńıvel f(x, y, z) = k são esferas centradas na orig...

A imagem da função f(x, y, z) = arctan(x² + y² + z²) é o intervalo (-π/2, π/2). Para mostrar que as superfícies de nível f(x, y, z) = k são esferas centradas na origem, podemos usar o fato de que a função é radial, ou seja, depende apenas da distância do ponto (x, y, z) à origem. Assim, podemos escrever: x² + y² + z² = r² Onde r é a distância do ponto (x, y, z) à origem. Então, temos: f(x, y, z) = arctan(r²) Para uma constante k, temos: arctan(r²) = k r² = tan(k) Que é a equação de uma esfera centrada na origem, com raio dado por: r = √tan(k) Portanto, as superfícies de nível f(x, y, z) = k são esferas centradas na origem, com raio dado por r = √tan(k).