Esboce o gráfico da função f (x) = x / (x2 + 1).

Claro! Vou te ajudar a esboçar o gráfico da função f(x) = x / (x^2 + 1). Para começar, vamos analisar o comportamento da função nos extremos do eixo x. Quando x se aproxima de infinito positivo ou negativo, o termo x^2 domina o denominador, fazendo com que f(x) se aproxime de zero. Portanto, temos duas assíntotas horizontais, uma no eixo y = 0 e outra no eixo y = 0. Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função, onde a derivada se anula. Derivando f(x) em relação a x, temos: f'(x) = (1 - 2x^2) / (x^2 + 1)^2 Igualando a derivada a zero, encontramos x = ±1/√2 como pontos críticos. Agora, vamos analisar o comportamento da função nos intervalos entre os pontos críticos e nas proximidades deles. Podemos fazer isso através da análise do sinal da derivada. Para x < -1/√2, a derivada é positiva, indicando que a função está crescendo. Entre -1/√2 < x < 1/√2, a derivada é negativa, indicando que a função está decrescendo. E para x > 1/√2, a derivada é positiva novamente, indicando que a função está crescendo. Agora, podemos montar uma tabela de sinais para determinar o comportamento da função em cada intervalo: x < -1/√2: f'(x) > 0, f(x) > 0 -1/√2 < x < 1/√2: f'(x) < 0, f(x) < 0 x > 1/√2: f'(x) > 0, f(x) > 0 Com base nessa análise, podemos esboçar o gráfico da função f(x) = x / (x^2 + 1). Ele terá uma assíntota horizontal no eixo y = 0 e passará pelos pontos críticos (-1/√2, -√2/2) e (1/√2, √2/2). O gráfico será simétrico em relação ao eixo y. Espero que isso te ajude a esboçar o gráfico da função! Se tiver mais alguma dúvida, é só me perguntar.