s derivável em a ∈ I . Dado b ∈ I , supondo que f seja n + 1 vezes derivável no intervalo aberto e cont́ınua no intervalo fechado entre a e b, en...

s derivável em a ∈ I . Dado b ∈ I , supondo que f seja n + 1 vezes derivável no intervalo aberto e cont́ınua no intervalo fechado entre a e b, então existe c entre a e b tal que f (b) = f (a) + f ′(a)(b − a) + · · ·+ f (n)(a) n! (b − a)n + f (n+1)(c) (n + 1)! (b − a)n+1 O termo Rn(b) = f (n+1)(c) (n + 1)! (b − a)n+1 é chamado forma de Lagrange para o resto de Taylor PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 16 - Parte 3 slide 8/11 Série de Taylor Seja f : I → R uma função infinitas vezes derivável em I e seja a ∈ I . A série infinita f (x) = f (a) + f ′(a)(x − a) + f ′′(a) 2 (x − a)2 + · · · = ∞∑ n=0 f (n)(a) n! (x − a)n é chamada série de Taylor da função f no ponto a. Se a função f é derivável infinitas vezes, podemos sempre obter sua série de Taylor, mas a série nem sempre converge para alguma vizinhança de a. Pode mesmo acontecer que convirja em uma vizinhança de x = a, mas não convirja para f (x). A série de Taylor para x = 0 também é chamada série de Maclaurin. PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 16 - Parte 3 slide 9/11 Exemplo 2 Obtenha a série de Maclaurin da função f (x) = sen x . Derivando sucessivamente, vemos que os valores da derivada se repetem em ciclos de peŕıodo 4, de tal forma que f (n)(0) = 0 para n é par e f (n)(0) alterna os valores 1 e −1 para n ı́mpar. A série de Maclaurin da função f (x) = sen x é f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) 2! x2 + f ′′′(0) 3! x3 + f (4)(0) 4! x4 + · · · = x − x 3 3! + x5 5! − x 7 7! + · · · = ∞∑ n=0 x2n+1 (2n + 1)! . PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 16 - Parte 3 slide 10/11 Polinômios de Taylor de y = sen x A figura a seguir mostra como os polinômios de Taylor se aproximam cada vez mais da curva y = sen x próximo à origem. No gráfico temos f (x) = sen x (em preto), p3(x) = x − x 3 6 (em azul), p5(x) = x − x 3 6 + x5 120 (em amarelo), p7(x) = x − x 3 6 + x5 120 − x7 5040 (em vermelho) e p9(x) = x − x 3 6 + x5 120 − x7 5040 + x9 362880 (em laranja). 1 2 −1 −2 −3 1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7 f (x) p3(x) p5(x) p7(x) p9(x) PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 16 - Parte 3 slide 11/11