Teorema (Teorema de Taylor) Seja f : I → R uma função n vezes derivável em a ∈ I . A função r : I → R definida por f (x) = f (a)+f ′(a)(x−a)+ ...

O Teorema de Taylor é um importante resultado da análise matemática que relaciona uma função com seu polinômio de Taylor. De acordo com o teorema, se uma função f é n vezes diferenciável em um intervalo I contendo o ponto a, então existe um polinômio p(x) de grau ≤ n que aproxima f(x) em torno de a. O polinômio de Taylor de ordem n de f em a é dado pela fórmula: p(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + ... + f^(n)(a)(x - a)^n/n! Onde f'(a) representa a primeira derivada de f em a, f''(a) a segunda derivada, e assim por diante, até a n-ésima derivada f^(n)(a). O termo r(x) representa o resto da série de Taylor e é dado por: r(x) = f(x) - p(x) O teorema também estabelece que, se o limite de r(x)(x - a)^n quando x tende a a é igual a zero, então p(x) é o polinômio de Taylor de ordem n de f em a. Espero que isso tenha esclarecido sua dúvida sobre o Teorema de Taylor! Se tiver mais alguma pergunta, estou à disposição.