Problema 2. Determine todos os polinômios P(x) de coeficientes reais que satisfazem a igualdade P(a - b) + P(b - c) + P(c - a) = 2P(a + b + c) para...

Para resolver esse problema, vamos substituir os valores de a, b e c na igualdade e encontrar os polinômios que satisfazem a condição. Substituindo ab + bc + ca = 0 na igualdade, temos: P(a - b) + P(b - c) + P(c - a) = 2P(a + b + c) P(a - b) + P(b - c) + P(c - a) = 2P(0) Agora, vamos analisar as possibilidades para os polinômios P(x): 1) Se P(x) for um polinômio constante, ou seja, P(x) = k, onde k é uma constante real, então a igualdade se mantém para qualquer valor de a, b e c. 2) Se P(x) for um polinômio de grau 1, ou seja, P(x) = ax + b, onde a e b são constantes reais, então a igualdade se mantém para qualquer valor de a, b e c. 3) Se P(x) for um polinômio de grau maior que 1, então a igualdade não será satisfeita para todos os valores de a, b e c que satisfazem ab + bc + ca = 0. Portanto, os polinômios que satisfazem a igualdade são os polinômios constantes (P(x) = k) e os polinômios de grau 1 (P(x) = ax + b), onde k, a e b são constantes reais.