Problema 1. Seja ABC um triângulo acutângulo e seja H o seu ortocentro. A circunferência de centro no ponto médio de BC e que passa por H intersect...

Esse é um problema clássico da geometria, conhecido como "Circunferência de Euler". Para provar que os pontos A1, A2, B1, B2, C1, C2 estão sobre uma mesma circunferência, podemos utilizar a propriedade de que o ortocentro de um triângulo é o ponto de interseção das alturas desse triângulo. Vamos começar considerando a circunferência de centro no ponto médio de BC e que passa por H. Denotaremos esse ponto médio como M. Como H é o ortocentro do triângulo ABC, a altura relativa ao lado BC passa por H. Portanto, a circunferência de centro em M e que passa por H intersecta a reta BC nos pontos A1 e A2. Agora, vamos considerar a circunferência de centro no ponto médio de CA e que passa por H. Denotaremos esse ponto médio como N. Da mesma forma, a altura relativa ao lado CA passa por H. Portanto, a circunferência de centro em N e que passa por H intersecta a reta CA nos pontos B1 e B2. Por fim, consideremos a circunferência de centro no ponto médio de AB e que passa por H. Denotaremos esse ponto médio como P. A altura relativa ao lado AB passa por H, então a circunferência de centro em P e que passa por H intersecta a reta AB nos pontos C1 e C2. Agora, para mostrar que A1, A2, B1, B2, C1, C2 estão sobre uma mesma circunferência, podemos utilizar o fato de que os pontos A1, A2, B1, B2, C1, C2 são as interseções das circunferências descritas acima com os lados do triângulo ABC. Podemos observar que, para qualquer ponto P sobre a circunferência de centro em M e que passa por H, o triângulo PHM é retângulo em H, pois o segmento HM é um raio da circunferência. Da mesma forma, podemos mostrar que os triângulos PHN e PNP são retângulos em H. Agora, vamos considerar o triângulo ABC. Como H é o ortocentro, as alturas relativas aos lados BC, CA e AB são perpendiculares a esses lados. Portanto, os triângulos ABC, A1B1C1, A2B2C2 são retângulos em H. A partir dessas informações, podemos concluir que os triângulos PHM, PHN, PNP, ABC, A1B1C1, A2B2C2 são todos retângulos em H. Isso significa que os ângulos formados pelos lados desses triângulos são todos retos. Agora, vamos considerar o triângulo ABC. Os pontos A1, A2, B1, B2, C1, C2 são as interseções das circunferências descritas acima com os lados do triângulo ABC. Como mostramos anteriormente, esses pontos estão sobre os triângulos A1B1C1, A2B2C2, que são retângulos em H. Portanto, os ângulos formados pelos lados A1B1, B1C1, C1A1, A2B2, B2C2, C2A2 são todos retos. Dessa forma, podemos concluir que os pontos A1, A2, B1, B2, C1, C2 estão sobre uma mesma circunferência, que é a circunferência de centro H e raio HC1 (ou HA1, ou HB1). Espero que isso tenha ajudado a entender a solução do problema! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.