Problema 5. Seja ABC um triângulo tal que ∠BCA = 90◦, e seja D o pé da altura relativa a C. Seja X um ponto no interior do segmento CD. Seja K o po...

Para provar que MK = ML, podemos usar a semelhança de triângulos. Vamos analisar os triângulos formados: 1. Triângulo ABC: Sabemos que ∠BCA = 90°, então temos um triângulo retângulo em C. 2. Triângulo BCK: Como BK = BC, temos um triângulo isósceles. Portanto, os ângulos ∠BKC e ∠BCK são iguais. 3. Triângulo ALC: Da mesma forma, como AL = AC, temos um triângulo isósceles. Portanto, os ângulos ∠ALC e ∠ACL são iguais. Agora, vamos analisar o ponto M, que é a interseção dos segmentos AL e BK. Como M pertence a ambos os segmentos, podemos dizer que ele divide esses segmentos na mesma proporção. Portanto, podemos afirmar que: AM/MB = AL/LK BM/MA = BK/KL Agora, vamos analisar o triângulo AMB: AM/MB = AL/LK Podemos reescrever essa proporção como: AM/MB = AL/(BK - BL) Agora, vamos analisar o triângulo BML: BM/MA = BK/KL Podemos reescrever essa proporção como: BM/MA = (BK - BL)/AL Agora, vamos igualar as duas proporções: AM/MB = BM/MA Substituindo as proporções anteriores, temos: AL/(BK - BL) = (BK - BL)/AL Multiplicando ambos os lados por (BK - BL) * AL, temos: AL^2 = (BK - BL)^2 Expandindo o quadrado, temos: AL^2 = BK^2 - 2BK*BL + BL^2 Agora, vamos analisar o triângulo BCK: Pelo teorema de Pitágoras, temos: BC^2 = BK^2 + CK^2 Como CK é a altura relativa ao triângulo ABC, temos CK^2 = AC^2 - AL^2. Substituindo essa informação na equação anterior, temos: BC^2 = BK^2 + AC^2 - AL^2 Agora, vamos analisar o triângulo BCL: Pelo teorema de Pitágoras, temos: BC^2 = BL^2 + CL^2 Como CL é a altura relativa ao triângulo ABC, temos CL^2 = AC^2 - AL^2. Substituindo essa informação na equação anterior, temos: BC^2 = BL^2 + AC^2 - AL^2 Comparando as duas equações, temos: BK^2 + AC^2 - AL^2 = BL^2 + AC^2 - AL^2 Simplificando, temos: BK^2 = BL^2 Portanto, podemos concluir que MK = ML, uma vez que BK = BL. Espero que isso ajude a resolver o problema! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.