(58º) Escreva as equações reduzidas das parábolas com vértice na origem para cada um dos dados abaixo: a) foco: (8, 0); b) diretriz: y = 2; c) eixo...

a) Para encontrar a equação reduzida da parábola com foco em (8, 0), podemos usar a fórmula (x - h)² = 4p(y - k), onde (h, k) é o vértice da parábola e p é a distância entre o vértice e o foco. Nesse caso, o vértice é a origem (0, 0) e o foco é (8, 0). Portanto, temos h = 0, k = 0 e p = 8. Substituindo esses valores na fórmula, temos: x² = 4 * 8 * y x² = 32y Portanto, a equação reduzida da parábola com foco em (8, 0) é x² = 32y. b) Para encontrar a equação reduzida da parábola com diretriz y = 2, podemos usar a fórmula (y - k)² = 4p(x - h), onde (h, k) é o vértice da parábola e p é a distância entre o vértice e a diretriz. Nesse caso, o vértice é a origem (0, 0) e a diretriz é y = 2. Portanto, temos h = 0, k = 0 e p = 2. Substituindo esses valores na fórmula, temos: y² = 4 * 2 * x y² = 8x Portanto, a equação reduzida da parábola com diretriz y = 2 é y² = 8x. c) Para encontrar a equação reduzida da parábola com eixo de simetria no eixo Oy e um ponto na parábola (5, 10), podemos usar a fórmula (x - h)² = 4p(y - k), onde (h, k) é o vértice da parábola e p é a distância entre o vértice e o foco. Nesse caso, o eixo de simetria é o eixo Oy, então o vértice está na forma (0, k). Além disso, temos um ponto na parábola (5, 10). Substituindo esses valores na fórmula, temos: (x - 0)² = 4p(y - k) x² = 4p(y - k) Substituindo o ponto (5, 10), temos: 5² = 4p(10 - k) 25 = 40p - 4pk Como o eixo de simetria é o eixo Oy, temos que o valor de p é igual à metade da distância entre o vértice e o ponto dado. Portanto, p = 5. Substituindo esse valor na equação, temos: 25 = 40 * 5 - 4k * 5 25 = 200 - 20k 20k = 200 - 25 20k = 175 k = 175/20 k = 8.75 Portanto, a equação reduzida da parábola com eixo de simetria no eixo Oy e um ponto na parábola (5, 10) é x² = 20(y - 8.75). d) Para encontrar a equação reduzida da parábola com um ponto na diretriz (4, 7) e o eixo de simetria no eixo Ox, podemos usar a fórmula (y - k)² = 4p(x - h), onde (h, k) é o vértice da parábola e p é a distância entre o vértice e a diretriz. Nesse caso, o eixo de simetria é o eixo Ox, então o vértice está na forma (h, 0). Além disso, temos um ponto na diretriz (4, 7). Substituindo esses valores na fórmula, temos: (y - 0)² = 4p(x - h) y² = 4p(x - h) Substituindo o ponto (4, 7), temos: 7² = 4p(4 - h) 49 = 16p - 4ph Como o eixo de simetria é o eixo Ox, temos que o valor de p é igual à metade da distância entre o vértice e o ponto dado. Portanto, p = 7. Substituindo esse valor na equação, temos: 49 = 16 * 7 - 4h * 7 49 = 112 - 28h 28h = 112 - 49 28h = 63 h = 63/28 h = 2.25 Portanto, a equação reduzida da parábola com um ponto na diretriz (4, 7) e o eixo de simetria no eixo Ox é (y - 7)² = 28(x - 2.25). e) Para encontrar a equação reduzida da parábola com dois pontos (6, 18) e (6, -18), podemos usar a fórmula (x - h)² = 4p(y - k), onde (h, k) é o vértice da parábola e p é a distância entre o vértice e o foco. Nesse caso, temos dois pontos na mesma coordenada x, o que indica que a parábola é vertical e o eixo de simetria é o eixo Oy. Portanto, o vértice está na forma (0, k). Substituindo esses valores na fórmula, temos: (x - 0)² = 4p(y - k) x² = 4p(y - k) Substituindo o ponto (6, 18), temos: 6² = 4p(18 - k) 36 = 72p - 4pk Substituindo o ponto (6, -18), temos: 6² = 4p(-18 - k) 36 = -72p - 4pk Como os pontos estão simétricos em relação ao eixo Oy, temos que a distância entre o vértice e cada ponto é a mesma. Portanto, podemos igualar as duas equações: 72p - 4pk = -72p - 4pk 144p = 0 p = 0 Como p = 0, a parábola é uma reta vertical. Portanto, não é possível escrever uma equação reduzida para essa situação. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.