Questão resolvida - Dada a parábola x4x8y120 determine seu vértice, foco, a reta diretriz e uma equação para o eixo de simetria - Cônicas_parábola - Geometria Analítica

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• Dada a parábola 
 
x² + 4x + 8y + 12 = 0 
 
determine seu vértice, foco, a reta diretriz, uma equação para o eixo de simetria, após, 
desenhe o gráfico com todas essas informações. 
 
Resolução:
 
O termo quadrado está na variável , dessa forma, o eixo de simetria da parábola é paralelo x
ao eixo , essa parábola tem equação geral do tipo;// y
 
x - x = 2p y - y( 0)2 ( 0)2
 
Com isso, devemos reescrever a equação da parábola nesse formato, possibilitando extrair 
as coordenadas do vértice e o foco ;(x , y0 0) (y , p0 )
 
x² + 4x + 8y + 12 = 0 x + 2 - 4 + 8y + 12 = 0 ⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪dos termos em x ( )
2
 
x + 2 + 8y + 8 = 0 x + 2 = - 8y - 8 x + 2 = - 8 y + 1( )2 → ( )2 → ( )2 ( )
 
Assim, as coordenadas do vértice são: 
 
-2, -1( )
 
Como o eixo de simetria é paralelo ao eixo , a coordenada do ponto do foco da parábola y x
é igual a coordenada do ponto do vértice, e a coordenada é a coordenada do foco x y y
mais o ;
p
2
 
Ponto do foco -2, -1 +→
p
2
 
 
 
completando o quadrado
(1)
(2)
(Resposta - vértice)
Comparando as equações de 1 e 2, temos a seguinte relação;
2p = -8 p = p = -4→
-8
2
→
Com isso, as coordenadas do ponto do foco são;
 
-2, -1 + -2, -1 - 2 Ponto do foco -2, -3
-4
2
→ ( ) → → ( )
 
Como o eixo de simetria da parábola é paralela ao eixo e a parábola não está rotacionada, y
temos que a reta que representa o eixo de simetria é a soma da coordenada do ponto do y
vértice com o módulo de dividido por 2, isso gera uma reta de equação constante e p
paralela ao eixo x, ou seja;
 
y = -1 + x = -1 + 2 y = 1
| - 4|
2
→ →
 
A parábola é paralela ao aixo , assim, a equação do eixo de simetria é uma reta de y
equação constante, também paralela ao eixo , que passa pelo ponto do vértice;y
 
x = -2 
 
 
(Resposta - foco)
(Resposta - reta diretriz)
(Resposta - Equação do eixo de simetria )
Finalmente, temos que o gráfico da parábola, acrescido das outras informações 
encontradas, é;
 
 
reta diretriz
 Equação do eixo de simetria 
Ponto do foco
Ponto do vértice