(2.0 Pontos) Demonstrar vetorialmente que o baricentro G de um triângulo ABC é = (O baricentro é o centro de gravidade do triângulo e. divide cada ...

Para demonstrar vetorialmente que o baricentro G de um triângulo ABC é o ponto de interseção das medianas, podemos utilizar a seguinte abordagem: Seja A, B e C os vértices do triângulo ABC, e seja M o ponto médio do segmento BC. Vamos denotar os vetores pelos pontos correspondentes em letras minúsculas. A mediana que passa por A é o segmento que liga A ao ponto médio M do lado oposto. Portanto, podemos escrever o vetor AM como: AM = 1/2 * AB + 1/2 * AC Da mesma forma, podemos escrever as medianas que passam por B e C como: BM = 1/2 * BA + 1/2 * BC CM = 1/2 * CA + 1/2 * CB Agora, vamos encontrar o ponto de interseção dessas medianas, que é o baricentro G. Para isso, igualamos as expressões para AM, BM e CM: AM = BM = CM 1/2 * AB + 1/2 * AC = 1/2 * BA + 1/2 * BC = 1/2 * CA + 1/2 * CB Agora, vamos simplificar essas expressões: AB + AC = BA + BC = CA + CB Podemos reescrever essas igualdades como: AB + AC - BA - BC = 0 AB + AC - CA - CB = 0 Agora, vamos agrupar os termos semelhantes: (AB - BA) + (AC - BC) = 0 (AB - CA) + (AC - CB) = 0 Simplificando ainda mais: -BA + BC = 0 -CA + CB = 0 Agora, vamos reescrever essas igualdades em termos dos vetores: -BA + BC = 0 -CA + CB = 0 Isso implica que: BA = BC CA = CB Essas igualdades nos mostram que os vetores BA e BC são colineares, assim como os vetores CA e CB. Portanto, o ponto de interseção das medianas é o ponto G, que é o baricentro do triângulo ABC. Espero que isso tenha ajudado a demonstrar vetorialmente que o baricentro G de um triângulo ABC é o ponto de interseção das medianas. Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar!