Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas do plano que passa pelos pontos P(2,-4,5) Q(-1,4,-3) e R(1,10,-7)

Para encontrar a equação vetorial e as equações paramétricas do plano que passa pelos pontos P(2,-4,5), Q(-1,4,-3) e R(1,10,-7), podemos usar o produto vetorial. Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão contidos no plano. Podemos escolher os vetores PQ e PR. Vetor PQ = Q - P = (-1, 4, -3) - (2, -4, 5) = (-3, 8, -8) Vetor PR = R - P = (1, 10, -7) - (2, -4, 5) = (-1, 14, -12) Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores para obter um vetor normal ao plano: Vetor normal = PQ x PR = (-3, 8, -8) x (-1, 14, -12) Para calcular o produto vetorial, podemos usar a seguinte fórmula: (x, y, z) x (a, b, c) = (yc - zb, za - xc, xb - ya) Aplicando a fórmula, temos: Vetor normal = ((8 * -12) - (-8 * 14), (-3 * -12) - (-8 * -1), (-3 * 14) - (8 * -1)) = (-16, -24, -50) Agora que temos um vetor normal ao plano, podemos usar a equação vetorial do plano: (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t * (a, b, c) Onde (x0, y0, z0) é um ponto qualquer pertencente ao plano e (a, b, c) é o vetor normal ao plano. Podemos escolher o ponto P(2, -4, 5) como ponto pertencente ao plano. Substituindo na equação, temos: (x, y, z) = (2, -4, 5) + t * (-16, -24, -50) Essa é a equação vetorial do plano. Para obter as equações paramétricas, podemos escrever as coordenadas x, y e z em função do parâmetro t: x = 2 - 16t y = -4 - 24t z = 5 - 50t Essas são as equações paramétricas do plano que passa pelos pontos P(2,-4,5), Q(-1,4,-3) e R(1,10,-7).