Sistema de Equações Paramétricas do Plano!

Você cria um vetor AB. Então pi é o plano que passa por A e é paralelo ao vetores AB e o vetor diretor da reta, onde AB não é multiplo do vetor diretor. Portanto você pode montar a equação parametrica:

x = -3 + componente x de AB + componente x do vetor diretor

y =  1 + componente y de AB + componente y do vetor diretor

z = -2 + componente z de AB + componente z do vetor diretor

Vamos começar pelo paralelismo, escrevendo a reta no formato vetorial:

\(\vec{r}=(2t,4,-3t)=(0,4,0)+t(2,0,-3)\)

Se o plano é paralelo à reta acima, o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano é nulo:

\((2,0,-3)\cdot(a,b,c)=0\Rightarrow 2a-3c=0\Rightarrow 2a=3c\Rightarrow \vec{n}=\left({3\over2}c,b,c\right)\)

Para a equação de um plano dado seu vetor normal, temos:

\(ax+by+cz+d=0\Rightarrow {3\over2}cx+by+cz+d=0\Rightarrow 3cx+2by+2cz+2d=0\)

Sabemos que os pontos A e B pertencem ao plano:

\(3c\cdot(-3)+2b\cdot1+2c\cdot(-2)+2d=0\\ 3c\cdot(-1)+2b\cdot2+2c\cdot1+2d=0\)

Reescrevendo, temos:

\(-9c+2b-4c+2d=0\\ -3c+4b+2c+2d=0\)

Ou ainda:

\(2b-13c+2d=0\\ 4b-c+2d=0\)

Subtraindo a primeira da segunda, temos:

\(2b+12c=0\Rightarrow b=-6c\)

Substituindo na primeira equação, temos:

\(-12c-13c+2d=0\Rightarrow 2d=25c\)

Substituindo esses dois últimos resultados na equação previamente obtida, temos:

\(3cx-12cy+2cz+25c=0\)

Dividindo a equação por \(c\), chegamos em:

\(3x-12y+2z+25=0\)

Mas queremos as equações paramétricas. Vamos tomar \(y=t\) e \(z=3s+1\), de forma que ficamos com:

\(\boxed{ x=4t-2s-9\\ y=t\\ z=3s+1 }\)