Quanto vale a integral de superfície do campo vetorial F(x,y,z)=(x, y, x+y+z) através da superfície S:x+y+z=1, 0≤x≤1 e 0≤y≤1? 8 0 16 2 4

Para calcular a integral de superfície do campo vetorial F(x, y, z) através da superfície S, podemos usar o Teorema de Gauss. Primeiro, vamos encontrar o vetor normal à superfície S. A equação da superfície S é dada por x + y + z = 1. Podemos reescrever essa equação como z = 1 - x - y. Portanto, o vetor normal à superfície S é dado por N = (1, 1, -1). Agora, vamos calcular a integral de superfície usando o Teorema de Gauss: ∬S F · dS = ∭V div(F) dV Onde ∬S F · dS é a integral de superfície do campo vetorial F através da superfície S, ∭V é a integral tripla sobre o volume V delimitado pela superfície S e div(F) é a divergência do campo vetorial F. A divergência do campo vetorial F(x, y, z) = (x, y, x + y + z) é dada por div(F) = ∂F/∂x + ∂F/∂y + ∂F/∂z = 1 + 1 + 1 = 3. Agora, vamos calcular a integral tripla ∭V div(F) dV: ∭V div(F) dV = ∭V 3 dV O volume V é delimitado pelos limites 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e z = 1 - x - y. Portanto, a integral tripla se torna: ∭V 3 dV = ∫0^1 ∫0^(1-x) ∫0^(1-x-y) 3 dz dy dx Resolvendo essa integral tripla, obtemos: ∭V 3 dV = 3 ∫0^1 ∫0^(1-x) (1-x-y) dy dx = 3 ∫0^1 [(1-x)(1-x)/2] dx = 3 ∫0^1 (1 - 2x + x^2)/2 dx = 3 [x - x^2/2 + x^3/6] |0^1 = 3 (1 - 1/2 + 1/6) = 3/2 Portanto, a integral de superfície do campo vetorial F através da superfície S é 3/2.