A equação diferencial a seguir representa um modelo dinâmico de um processo determinado processo industrial. d 2 y d t 2 + 6 d y d t + 9 y = cos ...

A equação diferencial apresentada é dada por: d²y/dt² + 6dy/dt + 9y = cos(t) Para resolver essa equação diferencial, podemos utilizar o método da solução particular. Primeiro, vamos encontrar a solução homogênea da equação, que é obtida ao igualar a parte não homogênea (cos(t)) a zero: d²y/dt² + 6dy/dt + 9y = 0 A solução homogênea dessa equação é da forma: y_h(t) = c1 * e^(-3t) * cos(sqrt(6)t) + c2 * e^(-3t) * sin(sqrt(6)t) Agora, vamos encontrar a solução particular da equação original. Como a parte não homogênea é cos(t), podemos assumir uma solução particular da forma: y_p(t) = A * cos(t) + B * sin(t) Substituindo essa solução na equação original, temos: -d²(A * cos(t) + B * sin(t))/dt² - 6d(A * cos(t) + B * sin(t))/dt + 9(A * cos(t) + B * sin(t)) = cos(t) Simplificando, temos: (-A - 6B + 9A) * cos(t) + (-B + 6A + 9B) * sin(t) = cos(t) Igualando os coeficientes de cos(t) e sin(t) a zero, obtemos o seguinte sistema de equações: -8A + 6B = 1 6A + 8B = 0 Resolvendo esse sistema, encontramos A = -1/10 e B = 3/10. Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada por: y(t) = y_h(t) + y_p(t) = c1 * e^(-3t) * cos(sqrt(6)t) + c2 * e^(-3t) * sin(sqrt(6)t) - (1/10) * cos(t) + (3/10) * sin(t) Considerando as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 2, podemos determinar os valores de c1 e c2. Substituindo essas condições na solução geral, temos: 1 = c1 * cos(0) + c2 * sin(0) - (1/10) * cos(0) + (3/10) * sin(0) 2 = -3c1 * sin(0) * sqrt(6) + 3c2 * cos(0) * sqrt(6) + (1/10) * sin(0) + (3/10) * cos(0) Simplificando, obtemos: 1 = c1 - (1/10) 2 = (3/10) * sqrt(6) + (3/10) Resolvendo esse sistema, encontramos c1 = 11/10 e c2 = (2 - 3sqrt(6))/10. Portanto, a solução da equação diferencial no domínio de tempo é: y(t) = (11/10) * e^(-3t) * cos(sqrt(6)t) + ((2 - 3sqrt(6))/10) * e^(-3t) * sin(sqrt(6)t) - (1/10) * cos(t) + (3/10) * sin(t)