Sabendo que a reta r tem equação r:(x, y, z)=(8, 7, -2)+t(2, 5, 1) e o plano α é dado por α :(0, 1, 0)+t1(-2, -3, 6)+t2(1, 2, -1), obtenha o âng...

Para encontrar o ângulo entre a reta r e o plano α, podemos utilizar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores. Primeiro, vamos encontrar um vetor diretor da reta r e um vetor normal ao plano α. O vetor diretor da reta r é dado pelo coeficiente de t na equação da reta, ou seja, (2, 5, 1). O vetor normal ao plano α é dado pelo produto vetorial dos vetores diretores do plano, ou seja, (-2, -3, 6) e (1, 2, -1). O produto vetorial desses vetores é dado por: N = (-2, -3, 6) x (1, 2, -1) Calculando o produto vetorial, temos: N = (12, 7, 7) Agora, podemos calcular o cosseno do ângulo entre os vetores utilizando a fórmula: cos(θ) = (vetor r . vetor α) / (|vetor r| * |vetor α|) Onde "." representa o produto escalar e "|" representa o módulo do vetor. O vetor r é o vetor diretor da reta r, ou seja, (2, 5, 1). O vetor α é o vetor normal ao plano α, ou seja, (12, 7, 7). Calculando o produto escalar e os módulos dos vetores, temos: vetor r . vetor α = (2, 5, 1) . (12, 7, 7) = 2*12 + 5*7 + 1*7 = 24 + 35 + 7 = 66 |vetor r| = √(2^2 + 5^2 + 1^2) = √(4 + 25 + 1) = √30 |vetor α| = √(12^2 + 7^2 + 7^2) = √(144 + 49 + 49) = √242 Substituindo esses valores na fórmula do cosseno, temos: cos(θ) = 66 / (√30 * √242) Calculando o valor do cosseno, temos: cos(θ) ≈ 0,999 Finalmente, podemos encontrar o ângulo θ utilizando a função inversa do cosseno (arccos): θ ≈ arccos(0,999) Calculando o valor do ângulo em graus, temos: θ ≈ 0,43° Portanto, o ângulo entre a reta r e o plano α é aproximadamente 0,43°.