Para encontrar o ângulo entre a reta \( r \) e o plano \( \alpha \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Identificar o vetor diretor da reta \( r \): O vetor diretor é dado por \( \vec{v_r} = (2, 5, 1) \). 2. Encontrar os vetores normais do plano \( \alpha \): Para isso, precisamos dos vetores geradores do plano, que são \( \vec{v_1} = (-2, -3, 6) \) e \( \vec{v_2} = (1, 2, -1) \). O vetor normal \( \vec{n} \) do plano pode ser encontrado pelo produto vetorial: \[ \vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} \] Calculando o produto vetorial: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & -3 & 6 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}((-3)(-1) - (6)(2)) - \hat{j}((-2)(-1) - (6)(1)) + \hat{k}((-2)(2) - (-3)(1)) \] \[ = \hat{i}(3 - 12) - \hat{j}(2 - 6) + \hat{k}(-4 + 3) \] \[ = \hat{i}(-9) + \hat{j}(4) + \hat{k}(-1) = (-9, 4, -1) \] 3. Calcular o ângulo entre a reta e o plano: O ângulo \( \theta \) entre a reta e o plano é dado por: \[ \sin(\theta) = \frac{|\vec{v_r} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v_r}| |\vec{n}|} \] Primeiro, calculamos o produto escalar \( \vec{v_r} \cdot \vec{n} \): \[ \vec{v_r} \cdot \vec{n} = (2)(-9) + (5)(4) + (1)(-1) = -18 + 20 - 1 = 1 \] Agora, calculamos as magnitudes: \[ |\vec{v_r}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 25 + 1} = \sqrt{30} \] \[ |\vec{n}| = \sqrt{(-9)^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{81 + 16 + 1} = \sqrt{98} \] Agora, substituímos na fórmula: \[ \sin(\theta) = \frac{|1|}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{98}} = \frac{1}{\sqrt{2940}} \] Para encontrar o ângulo \( \theta \): \[ \theta = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2940}}\right) \] Calculando isso, você encontrará o ângulo entre a reta e o plano. O resultado deve ser próximo de \( 1,06° \), conforme mencionado.