Para integração, o cálculo de integrais triplas podemos empregar o sistema de coordenadas cartesianas tradicionais, mas também podemos optar pelo u...

Para calcular o volume da região limitada pelo cilindro e pelos planos apresentados, podemos utilizar o sistema de coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, as coordenadas são representadas por (r, θ, z), onde r é a distância do ponto ao eixo z, θ é o ângulo formado entre o ponto e o eixo x, e z é a altura do ponto. No caso do cilindro construído ao longo do eixo z, a equação do cilindro é dada por r² + z² = 1. Os planos xy e z = 2 também limitam a região. Para calcular o volume, devemos integrar a função 1 em relação às coordenadas r, θ e z, considerando os limites adequados. Nesse caso, os limites de integração são: - Para r: de 0 a 1 (pois o cilindro tem raio 1) - Para θ: de 0 a 2π (pois percorremos todo o círculo) - Para z: de 0 a 2 (pois o plano z = 2 limita a região) Portanto, o volume da região é dado por: V = ∫∫∫ 1 * r dz dθ dr Integrando em relação a z, temos: V = ∫∫ r * (2 - 0) dθ dr V = ∫∫ 2r dθ dr Integrando em relação a θ, temos: V = ∫ 2r * (2π - 0) dr V = ∫ 4πr dr Integrando em relação a r, temos: V = 4π * (1/2) * r² | de 0 a 1 V = 2π * (1 - 0) V = 2π Portanto, a alternativa correta é a letra a) 2π.