Para o estudo do momento de inércia de um sólido podemos empregar o cálculo de integrais triplas. Considere um sólido de densidade constante, C, e limitado pelos planos x = ±1, z = ±1, y = 3 e y = 5 . Determine o momento de inércia desse sólido em relação ao eixo z.

Question

Para o estudo do momento de inércia de um sólido podemos empregar o cálculo de integrais triplas. Considere um sólido de densidade constante, C, e ...

Ed · Answer

Para determinar o momento de inércia de um sólido em relação ao eixo z, você pode usar a fórmula:

$$ I_z = \iiint_V \rho (x^2 + y^2) \, dV $$

onde $ \rho $ é a densidade do sólido (que é constante, $ C $), e $ dV $ é o elemento de volume.

1. **Defina os limites de integração**: O sólido é limitado por:
   - $ x = -1 $ a $ x = 1 $
   - $ y = 3 $ a $ y = 5 $
   - $ z = -1 $ a $ z = 1 $

2. **Escreva a integral tripla**:
   $$
   I_z = C \int_{-1}^{1} \int_{3}^{5} \int_{-1}^{1} (x^2 + y^2) \, dz \, dy \, dx
   $$

3. **Calcule a integral em relação a $ z $**:
   $$
   \int_{-1}^{1} dz = 2
   $$
   Assim, a integral se torna:
   $$
   I_z = 2C \int_{-1}^{1} \int_{3}^{5} (x^2 + y^2) \, dy \, dx
   $$

4. **Calcule a integral em relação a $ y $**:
   $$
   \int_{3}^{5} (x^2 + y^2) \, dy = \int_{3}^{5} x^2 \, dy + \int_{3}^{5} y^2 \, dy
   $$
   - Para $ \int_{3}^{5} x^2 \, dy = x^2 (5 - 3) = 2x^2 $
   - Para $ \int_{3}^{5} y^2 \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{3}^{5} = \frac{125}{3} - \frac{27}{3} = \frac{98}{3} $

Portanto:
   $$
   \int_{3}^{5} (x^2 + y^2) \, dy = 2x^2 + \frac{98}{3}
   $$

5. **Agora, integre em relação a $ x $**:
   $$
   I_z = 2C \int_{-1}^{1} \left( 2x^2 + \frac{98}{3} \right) \, dx
   $$
   - A integral de $ 2x^2 $ de $-1$ a $1$ é:
   $$
   \int_{-1}^{1} 2x^2 \, dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = 2 \left( \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) \right) = \frac{4}{3}
   $$
   - A integral de $ \frac{98}{3} $ de $-1$ a $1$ é:
   $$
   \int_{-1}^{1} \frac{98}{3} \, dx = \frac{98}{3} \cdot 2 = \frac{196}{3}
   $$

6. **Combine os resultados**:
   $$
   I_z = 2C \left( \frac{4}{3} + \frac{196}{3} \right) = 2C \cdot \frac{200}{3} = \frac{400C}{3}
   $$

Portanto, o momento de inércia do sólido em relação ao eixo z é:

$$
I_z = \frac{400C}{3}
$$

Ed · Answer

Para calcular o momento de inércia de um sólido em relação a um eixo, é necessário integrar a densidade do sólido multiplicada pelo quadrado da distância de cada elemento de massa ao eixo em questão. No caso deste sólido, que é simétrico em relação ao eixo z, podemos utilizar o teorema de Steiner para calcular o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa e depois somar o momento de inércia do sólido em relação ao centro de massa.

O centro de massa do sólido está localizado no ponto (0, 4, 0), que é o ponto médio do segmento que une os pontos (0, 3, 0) e (0, 5, 0). Portanto, podemos calcular o momento de inércia em relação ao eixo z que passa pelo centro de massa:

Iz = ∫∫∫ρ(x² + y²) dV

Onde ρ é a densidade do sólido e dV é o elemento de volume.

Como a densidade é constante, podemos colocar C em evidência e integrar apenas a expressão x² + y²:

Iz = C ∫∫∫(x² + y²) dV

O sólido está limitado pelos planos x = ±1, z = ±1, y = 3 e y = 5, portanto podemos escrever as integrais triplas como:

Iz = C ∫-1¹ ∫3⁵ ∫-1¹ (x² + y²) dz dy dx

Resolvendo as integrais, temos:

Iz = C ∫-1¹ ∫3⁵ [(x² + y²)z]₋1¹ dy dx
Iz = C ∫-1¹ ∫3⁵ [(x² + y²)(-1) - (x² + y²)(1)] dy dx
Iz = C ∫-1¹ ∫3⁵ -2(x² + y²) dy dx
Iz = -2C ∫-1¹ ∫3⁵ (x² + y²) dy dx

Integrando em relação a y, temos:

Iz = -2C ∫-1¹ [(x²y + y³)/3]₃⁵ dx
Iz = -2C ∫-1¹ [(x²(5³ - 3³) + 5³ - 3³)/3] dx
Iz = -2C ∫-1¹ [(98x² + 98)/3] dx
Iz = -2C [(98x³/9 + 98x)/3]₋1¹
Iz = -2C [(98/9 + 98)/3 - (98/9 - 98)/3]
Iz = -2C [(196/3) / 3]
Iz = -2C (196/9)
Iz = -392C/9

Portanto, o momento de inércia do sólido em relação ao eixo z é -392C/9.

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