Para o estudo do momento de inércia de um sólido podemos empregar o cálculo de integrais triplas. Considere um sólido de densidade constante, C, e ...

Para calcular o momento de inércia de um sólido em relação a um eixo, é necessário integrar a densidade do sólido multiplicada pelo quadrado da distância de cada elemento de massa ao eixo em questão. No caso deste sólido, que é simétrico em relação ao eixo z, podemos utilizar o teorema de Steiner para calcular o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa e depois somar o momento de inércia do sólido em relação ao centro de massa. O centro de massa do sólido está localizado no ponto (0, 4, 0), que é o ponto médio do segmento que une os pontos (0, 3, 0) e (0, 5, 0). Portanto, podemos calcular o momento de inércia em relação ao eixo z que passa pelo centro de massa: Iz = ∫∫∫ρ(x² + y²) dV Onde ρ é a densidade do sólido e dV é o elemento de volume. Como a densidade é constante, podemos colocar C em evidência e integrar apenas a expressão x² + y²: Iz = C ∫∫∫(x² + y²) dV O sólido está limitado pelos planos x = ±1, z = ±1, y = 3 e y = 5, portanto podemos escrever as integrais triplas como: Iz = C ∫-1¹ ∫3⁵ ∫-1¹ (x² + y²) dz dy dx Resolvendo as integrais, temos: Iz = C ∫-1¹ ∫3⁵ [(x² + y²)z]₋1¹ dy dx Iz = C ∫-1¹ ∫3⁵ [(x² + y²)(-1) - (x² + y²)(1)] dy dx Iz = C ∫-1¹ ∫3⁵ -2(x² + y²) dy dx Iz = -2C ∫-1¹ ∫3⁵ (x² + y²) dy dx Integrando em relação a y, temos: Iz = -2C ∫-1¹ [(x²y + y³)/3]₃⁵ dx Iz = -2C ∫-1¹ [(x²(5³ - 3³) + 5³ - 3³)/3] dx Iz = -2C ∫-1¹ [(98x² + 98)/3] dx Iz = -2C [(98x³/9 + 98x)/3]₋1¹ Iz = -2C [(98/9 + 98)/3 - (98/9 - 98)/3] Iz = -2C [(196/3) / 3] Iz = -2C (196/9) Iz = -392C/9 Portanto, o momento de inércia do sólido em relação ao eixo z é -392C/9.