Encontrar a área de interseção entre r = 4 cos θ e r = 4 sin θ.

Para encontrar a área de interseção entre as curvas polares r = 4 cos θ e r = 4 sin θ, podemos usar o método da integração. Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Igualando as duas equações, temos: 4 cos θ = 4 sin θ Dividindo ambos os lados por 4, obtemos: cos θ = sin θ Usando a identidade trigonométrica cos θ = sin (π/2 - θ), podemos reescrever a equação como: sin (π/2 - θ) = sin θ Agora, podemos resolver essa equação trigonométrica para encontrar os valores de θ que satisfazem a igualdade. Temos duas possibilidades: π/2 - θ = θ Isso nos dá θ = π/4. π/2 - θ = -θ Isso nos dá θ = π/6. Agora que temos os pontos de interseção, podemos calcular a área de interseção usando a fórmula da área polar: A = (1/2) ∫[θ1, θ2] (r1^2 - r2^2) dθ Substituindo os valores, temos: A = (1/2) ∫[π/6, π/4] ((4 cos θ)^2 - (4 sin θ)^2) dθ Simplificando, temos: A = (1/2) ∫[π/6, π/4] (16 cos^2 θ - 16 sin^2 θ) dθ A = (1/2) ∫[π/6, π/4] (16 cos^2 θ - 16(1 - cos^2 θ)) dθ A = (1/2) ∫[π/6, π/4] (16 cos^2 θ - 16 + 16 cos^2 θ) dθ A = (1/2) ∫[π/6, π/4] (32 cos^2 θ - 16) dθ A = (1/2) [16 sin θ + 16θ] [π/6, π/4] A = (1/2) [(16 sin (π/4) + 16(π/4)) - (16 sin (π/6) + 16(π/6))] A = (1/2) [(16(√2/2) + 4π) - (16(1/2) + 8π/3)] A = (1/2) [(8√2 + 4π) - (8 + 8π/3)] A = (1/2) [8√2 + 4π - 8 - 8π/3] A = (1/2) [8√2 - 8 + 4π - 8π/3] A = (1/2) [8(√2 - 1) + 4π(1 - 2/3)] A = (1/2) [8(√2 - 1) + 4π/3] A = 4(√2 - 1) + 2π/3 Portanto, a área de interseção entre as curvas r = 4 cos θ e r = 4 sin θ é 4(√2 - 1) + 2π/3.