Questão 2: (2 pontos)
Encontre o ponto de interseção das duas retas tangentes à curva r(t) = (sin(πt), 2 sin(πt), cos(πt)), t ∈ [0, 2], nos pon...

Question

Questão 2: (2 pontos)Encontre o ponto de interseção das duas retas tangentes à curva r(t) = (sin(πt), 2 sin(πt), cos(πt)), t ∈ [0, 2], nos pontos em que t = 0 e t = 1/2.

Ed · Answer

Para encontrar o ponto de interseção das duas retas tangentes à curva r(t) = (sin(πt), 2 sin(πt), cos(πt)), nos pontos em que t = 0 e t = 1/2, podemos seguir os seguintes passos:

1. Encontre as derivadas parciais de r(t) em relação a t:
   r'(t) = (π cos(πt), 2π cos(πt), -π sin(πt))

2. Substitua t = 0 e t = 1/2 nas derivadas parciais para obter os vetores diretores das retas tangentes nos pontos desejados:
   r'(0) = (π cos(0), 2π cos(0), -π sin(0)) = (π, 2π, 0)
   r'(1/2) = (π cos(π/2), 2π cos(π/2), -π sin(π/2)) = (0, 0, -π)

3. Agora, precisamos encontrar os pontos correspondentes nas retas tangentes. Para isso, podemos usar a equação paramétrica da reta:
   Para t = 0:
   Ponto na reta 1: (sin(0), 2 sin(0), cos(0)) = (0, 0, 1)
   Ponto na reta 2: (sin(0), 2 sin(0), cos(0)) = (0, 0, 1)

Para t = 1/2:
   Ponto na reta 1: (sin(π/2), 2 sin(π/2), cos(π/2)) = (1, 2, 0)
   Ponto na reta 2: (sin(π/2), 2 sin(π/2), cos(π/2)) = (1, 2, 0)

Portanto, o ponto de interseção das duas retas tangentes é (1, 2, 0).

Questão 2: (2 pontos) Encontre o ponto de interseção das duas retas tangentes à curva r(t) = (sin(πt), 2 sin(πt), cos(πt)), t ∈ [0, 2], nos pon...

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